![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.5
- 回答日時:
>(1)閉じないということは初期条件によっては微分方程式からtと微分記号を消去できないのでしょうか?
軌道の方程式(軌跡を与えるrとφの式):φ=∫(M/r^2)dr/√[2m{E-U(r)}-(M/r)^2] +const.
に tは含まれません.
補足すると, 元の運動方程式が時刻tを陽に含まないので, Δt=t2-t1 だけが意味を持ち, 原点をずらしても, 不変だし, またアフィン変換 t=pt'+q で新しい時刻t'にしても, 測る時間のスケールだけの変換なので, 時間の間隔(と原点)は変わっても, 物理は変わらず, 軌跡も不変です.
>(2)問題の(x(t),y(t))はいかなる初期条件でも有限の範囲に拘束されるでしょうか?
原題どおりだとYESです. 角運動量M=0なら静止または直線振動でしょうが, これも含めて(上に)有界です.
[略解] 原題だと F(r)=-dU/dr=-k/r より U(r)=k・ln(r) (k>0)・・・(*) なので, 角運動量Mを考えた有効ポテンシャル Ueff(r)=M^2/(2mr^2)+U(r) を使えば, 全エネルギーE(一定値)について[M=0の時は自明なので以下M≠0とします.]
E=(m/2)(dr/dt)^2+M^2/(2mr^2)+U(r)=K_r +Ueff(r)
より [K_r=(m/2)(dr/dt)^2]
K_r=E-Ueff(r)≧0 を満たすrが質点の可動範囲を与えますが,
今の場合 Ueff(r)=M^2/(2mr^2) +k・ln(r) (k>0) よリ
r→+0のとき, 第1項が支配的になり, +∞に発散するので, r=r_min(>0) が存在(M≠0のとき).
r→+∞のとき, 第2項が支配的になり, +∞に発散するので, r=r_max(>0) が存在.
よって(上下とも)有界で,rが有限の範囲に拘束される.
[余談ですが, (先日の)楕円軌道はもしあったとしても, よほどうまくtuningしないと無理そうに思われます.]
今は引力の場合に興味があるので, 一般式:F=-kr^α (k>0) でr→+∞のとき, ポテンシャルU(r)[=無限遠まで運ぶ仕事]はα≧-1ならば発散, α<-1ならば収束で, (r→+∞のときは Ueff(r)も同じ極限に発散/収束する)
α>-1 のとき(補足の例は α=-1/2に相当) U(r)={k/(α+1)}r^(α+1) →+∞ (r→+∞)でtrapされる.
α=-1 が上の例で, 対数発散し, 質点はこの場合も有限な領域にとどまる.
α<-1のとき(通常の重力は α=-2)の場合は, Total energy E が0以上ならば, いわゆるKepler運動の放物線や双曲線と同様で無限遠に到達し得ることはご承知の通りです.(E<0で束縛運動)
質問者さんは要点だけであとは十分お見通しで不要だったと思いますが, 自分なりの整理のつもりです,
No.4
- 回答日時:
今, 時間がないので, 夜まで待っていただけませんか. 整理します.
(1) 軌道の式の通り, あらわにはtを含みません. (意図と違ったら補足ください.)
(2) F=-kr^α をrで積分してポテンシャルUを求めると, r→+∞のとき α=-1を境に収束・発散が分かれます(元の問題はα=-1(Uは対数発散)でした).
No.3
- 回答日時:
半径rが r=r_max → r_min → r_max と変化したときの角の進みΔφが2πの有理数倍のときのみ有限回の回転で閉じる軌道になり, そうでないとき(無理数倍のとき) 永遠に閉じないという話だろうと思いますが,
角運動量Mを固定してエネルギーEを連続的に増やしていくと, "一周"したときの角の進みΔφは連続的に変化して, (量子条件のように)離散的ながら, 稠密な有理数の程度にびっしりと"閉じた"軌道が存在する...
ということなんでしょうかね.
この回答への補足
申し訳ありませんでした
こんなに大事になるとは思っていませんでした
(1)閉じないということは初期条件によっては微分方程式からtと微分記号を消去できないのでしょうか?
x”(t)=-a・x(t)/(x(t)^2+y(t)^2)^(3/2)
y”(t)=-a・y(t)/(x(t)^2+y(t)^2)^(3/2)
であれば初期条件によっては(x(t),y(t))無限遠点に向かうことができるのですが
(2)問題の(x(t),y(t))はいかなる初期条件でも有限の範囲に拘束されるでしょうか?
強い引力を受けているので期待しているのですが・・・
よろしくお願いします
No.2
- 回答日時:
#1の補足ですが,
>一般的には閉じない軌道になるとのことで
これは,今の場合についての確言ではなく,一般的にはという意味で書かれてあるので,多分この場合もそうだろうという,oshiete_gooの憶測であって,裏付けはありません.
”1/r かr^2のポテンシャルでないと,すべての軌道が閉じることは無い”という趣旨の記述からすると,それ以外だと何かよほど特殊な初期条件とかで無いと閉じないとも読めるのですが,どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら,ご教示いただけるようお願いします.fine tuning して釣り合わせた円軌道とか以外に自明でない解があるのか?
No.1
- 回答日時:
中心からの距離に反比例する引力を受ける質点の運動の話で,
@中心力なので角運動量は保存
というのが目に付くところですね.
設定を変えてしまって申し訳ないのですが, [質問(2)の類題]
ポテンシャル U(r)=k・ln(r) (k>0)・・・(*) [← F(r)=-dU/dr=-k/r より]
のもとに,(本問の設定)
ランダウ=リフシッツ『力学』p.36~40あたりの結果のみ借用すると,以下,一般に
ラグランジアン L=(m/2){(dr/dt)^2+r^2(dφ/dt)^2}-U(r)
角運動量 M=mr^2・dφ/dt=const. ・・・(*)
エネルギー E=(m/2){(dr/dt)^2+r^2(dφ/dt)^2}+U(r)=(m/2)(dr/dt)^2+M^2/(2mr^2)+U(r)
これより
dr/dt=√[(2/m){E-U(r)}-(M/mr)^2]
変数分離して積分
t=∫dr/√[(2/m){E-U(r)}-(M/mr)^2] +const.
これを(*)からの式 dφ=(M/mr^2)dt に用いて積分,
軌道の方程式: φ=∫(M/r^2)dr/√[2m{E-U(r)}-(M/r)^2] +const.
(ここまで一般論)
これに(*)を使えば良いわけですが,有効ポテンシャル Ueff(r)=U(r)+M^2/(2mr^2)=k・ln(r)+M^2/(2mr^2)
は r→0 と r→+∞ のどちらでも発散なので,質点は r_min≦r≦r_max の間のみ運動で,これがどうなるか...一般的には閉じない軌道になるとのことで,
『すべての有界な軌跡が閉じるような中心力の場が,たった2つだけ存在する.それは粒子のポテンシャル・エネルギーが 1/r および r^2 に比例する場である.』(同書p.40)
からすると,関数形からして,どうもきれいにはいきそうに無い気がします.
なお,引用した結果以外の部分は不備があるかも知れませんので,批判的に検証して下さい.また,新たな知見が得られましたらお教え下さると有難いです.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 微分方程式の初期値問題 1 2022/07/28 16:40
- 数学 3階以上の微分方程式について 3 2023/01/21 22:23
- 数学 常微分方程式論と偏微分方程式論 2 2022/04/03 22:35
- 数学 微分方程式の非線形2階微分方程式が解けないので教えてください!特殊解とその見つけ方だけでもお願いしま 4 2022/11/21 23:35
- 物理学 ①運動量ベクトルをpとしてニュートンの運動方程式を微分方程式の形で表すとどうなりますか? ②運動中質 3 2022/10/15 22:48
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。上端を固定された長さlの棒の先に質量mの質 2 2022/04/29 21:27
- 数学 数学微分方程式の問題です。次に書く問題を教えて欲しいです。質量mの物体が自然長l、ばね定数kのバネで 1 2022/04/29 21:23
- 数学 連立微分方程式 y1’=(y1)+2(y2)① y2’=3(y1)+2(y2)② y1(0)=5. 1 2022/07/30 08:47
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
シグマの問題なのですが。
-
何をもってしていってますか? ...
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
数学の問題です
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
極限の問題
-
数列の極限について
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
limの問題
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
単調増加
-
ニュートン法で解が収束しない
-
Σ_[n=1,∞]1/nは発散?
-
高校数学の初歩的な質問ですが(...
-
不動点反復法を用いた数値計算...
-
”有界閉区間”という言葉
-
現代の解析学と言えば複素解析...
おすすめ情報