確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明テキストに解説があるのですが、解説すら理解できません…orz 強引な自己解釈をしましたので、ご指導をお願いします。 {Xn}がXに確率収束するとします。 Fxn(x) = Prob[Xn 0 )の任意の数として、 Prob{X x+ε} = 全体の確率 ∴ Prob[Xn x+ε]…(1) ;"Prob[Xn x+ε]…(2) ;"Prob[Xn x+ε] ε]となるので、" (2) ε] 以上より、Fxn(x) ε] 又、確率収束より lim[n→∞]Fxn(x) 0 )は任意の数なので、lim[n→∞]Fxn(x) = Fx(x)

確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明

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質問者：izayoi168
質問日時：2010/03/24 00:58
回答数：1件

確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明

テキストに解説があるのですが、解説すら理解できません…orz
強引な自己解釈をしましたので、ご指導をお願いします。

{Xn}がXに確率収束するとします。

Fxn(x) = Prob[Xn <= x]

εを( ε>0 )の任意の数として、
Prob{X <= x+ε} + Prob{X > x+ε} =　全体の確率　∴
Prob[Xn <= x] =
Prob[Xn <= x , X <= x+ε] + Prob[Xn <= x , X > x+ε]…(1)

;"Prob[Xn <= x , X <= x+ε] <= Prob[ X <= x+ε]となるので、"
(1)<= Prob[ X <= x+ε] + Prob[Xn <= x , X > x+ε]…(2)

;"Prob[Xn <= x , X > x+ε] <= Prob[｜Xn - X｜>ε]となるので、"
(2)<= Prob[ X <= x+ε] + Prob[｜Xn - X｜>ε]

以上より、Fxn(x) <= Prob[ X <= x+ε] + Prob[｜Xn - X｜>ε]
又、確率収束より　lim[n→∞]Fxn(x) <= Prob[ X <= x+ε] = Fx(x+ε)

Fx(x-ε)についても同様に考えると、Fx(x-ε) <= lim[n→∞]Fxn(x)

以上より Fx(x-ε) <= lim[n→∞]Fxn(x) <= Fx(x+ε)
ε( ε>0 )は任意の数なので、lim[n→∞]Fxn(x) = Fx(x)

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： grothendieck
回答日時：2010/03/30 23:01

確率変数列が確率収束するなら確率分布も法則収束する事の証明は二つの部分からなります。

1. 任意の有界かつ一様連続な関数f(x)に対して
　∫f(x)μn(dx) →　∫f(x)μ(dx)
ならばμnはμに弱収束する。
2. XnがXに確率収束するならば有界かつ一様連続な関数f(x)に対して
　∫f(x)μn(dx) →　∫f(x)μ(dx)

あなたが疑問なのは１と２のどちらでしょうか。