解析学の、極限関数が存在する事を示す問題を教えて下さい。
この問題が難しくて困っています。
関数列{fn(x)}を
fn(x)=(1-x^2/1^2)×(1-x^2/2^2)×・・・×(1-x^2/n^2)
※n=1,2,3,・・・
で決める。
この時極限関数lim(n→∞)fn(x)が存在する事を示しなさい。
という問題です。
分からず困っています。教えて下さい。
一応ヒントが書いてあり、
「0<|x|,1についてはそのまま考えてよい。|x|>1の場合はN>|x|を固定し
gn(x)=(1-x^2/N^2)×(1-x^2/(N+1)^2)×・・・(1-x^2/n^2)
(n=N,N+1,N+2,・・・)
の収束から考えると良い」
とあるのですが、分からず困っています
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1.xが0のとき
すべてのnに対して fn(x)=1となる。つまりlim(n→∞)fn(x)=1
2.xが0以外の整数のとき
|x|=Nとなる自然数Nが存在する。つまりn>Nとすれば fn(x)=0だから
lim(n→∞)fn(x)=0
3.0<|x|<1のとき
任意の自然数Nについて、0<(1-x^2/N^2)<1だから、fn(x)>0は減少数列となり、
下に有界なので収束する。
4.|x|>1かつ|x|が自然数でないとき
|x|<Nとなる自然数Nが存在する。n>Nとすると3項と同様の論理で
gn(x)=(1-x^2/N^2)×(1-x^2/(N+1)^2)×・・×(1-x^2/n^2)
は正の減少数列となり、収束する。
fn(x)=(1-x^2/1^2)×(1-x^2/2^2)×・・・×(1-x^2/(N-1)^2)×gn(x)
だから、fn(x)も収束する。
5.結局すべてのxについてfn(x)は収束する。
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