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y=(3)√x^2 を微分せよ、という問題なのですが、

解答では、
y=(3)√x^2
=x^(2/3)   …(*)
y'=2/3 x^(-1/3)
=2/{3 (3)√x} …①

としています。

しかし、(*)という式はx≦0のとき、正しいのでしょうか?
なぜ正しくないと感じたかというと、、数Ⅱの教科書には、a^xについて、xを整数から有理数に拡張したときに、a>0と定義されていたからです。

a<0を許すと、たとえば、
-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=√1=1
のような、おかしな式変形が可能になってしまいます。

たしかに、①で得られた答えは、場合分けをして得られる答えと一致するのですが、これはたまたま答えが一致しているだけなのでしょうか?
それとも私が間違っているのでしょうか?


非常に困っています
回答よろしくお願いします。


補足
たとえば、
(3)√64 =4 27^(2/3)=9
です。(3乗根など、読みづらくてすみません)

A 回答 (3件)

No1.No2.は間違いです.


質問者がほぼ正しい答えを書いているのに,
嘘の回答を書いて質問者を中傷するのはやめましょう.

 √x ≡ x^(1/2) は書き方が違うだけで,全く同じもの.
 「x^2=y (y>0) の解の「正」の方を√y=y^(1/2)と書く」
  だから,1^(1/2)=±1 ではありません.当然1です.
 (負の数)^(実数)は、複素数の範囲でしか定義されません。
 √(-1)=(-1)^(1/2)=i(純虚数) は習いませんでしたか? >No.2
 「a<=>0で区別しろと・・」?,では  0^(-1/3) ていくつ?
 複素領域で「奇数乗根は符号を保存」なんて意味不明です.
 それこそ,「頭は大丈夫ですか。」>No2.

さて、つまらない前置きをしましたが、

質問者の述べていることは、ほとんど正解です。

1.数Ⅲの範囲では,質問者が言うように,
  x^p は p が実数のときは x>0 と定義しなければなりません.
  また,この関数の場合は,X>0 しか実数値を取りませんので,
  f'(x)は X>0 でしか(通常の意味での)微分としては意味を持ちません.
  注. x^(-1)=1/x 等があるからx=0を含んではいけない.

2.次に質問者の疑問点ですが
  「 a<0を許すと・・・・ 」
  の部分は,「a<0 では定義されない」といえば、議論になりませんが・・・
  a<0 でも,べき乗mが「整数」ならば a^m は(数Ⅲの範囲でも)
  定義されてますので,疑問は残るかもしれませんね.
  質問者が書いているように ((-1)^p)^q=(-1)^(p・q) となりそうだからですよね。
  しかし、この関係式は 「p,q がともに整数」の時しか成り立ちません。
  指数部を実数の積に分けると、まさに質問者が示した通り、矛盾が生じますので、
  上記式は成り立たないのです。(複素数の範囲では後述の意味で成り立つ)

さて数Ⅲの範囲を出て良ければ
3.Z^p は,Z,p どちらも「複素数」の範囲で定義することができます.
  (複素数は四則演算,べき乗の演算で必ず答えがある(複素数体は代数的閉体))
  複素数の範囲での x^pは、「オイラーの公式」というのをつかうと次のように書けます。
  複素数Z=r(cosθ+i・sinθ) (i=√(-1):純虚数、r>0)とおくと
   Z^p=(r^p){cos(pθ)+i・sin(pθ)}

  ところで、-1=cos(π)+i・sin(π)  (わかりにくいが π=パイ)と書けるので、
  (-1)^(1/3)=cos(π/3)+i・sin(π/3)=1/2+i・(√3)/2
  となります。これを3乗すると確かに -1 になります。

  ところで、(-1)^(1/3)=-1 ではないのか?という疑問がわきますよね。
  次の方程式をオイラーの公式を使って解いてみましょう。
  Z^3={r(cosθ+i・sinθ)}^3=(r^3)(cos3θ+i・sin3θ)=-1
   両辺の(複素数の)絶対値を比較して r^3=|-1|=1 故に r=1
   実数部と虚数部を比較してcos3θ=-1,sin3θ=0
  故に 3θ=2mπ+π (m:任意の整数:このため複数個の解が出る)
     θ=2mπ/3+π/3
  ということで、求める解Zは
  Z=cos(2mπ/3+π/3)+i・sin(2mπ/3+π/3) と求まります.
  mにいろいろな整数を与えると、
  Z={1/2+i・(√3)/2,1/2ーi・(√3)/2,-1}の3個の解が求まります.

  ところで、オイラーの公式では、-1 を表すとき、
  -1=cos(2mπ+π)+i・sin(2mπ+π) (m:整数) も成り立つので、2mπの自由度があるのです.
  ここで、m=3 として、-1=cos(3π)+i・sin(3π) と置いてもよいわけで
  この場合 (-1)^(1/3)=cos(π)+i・sin(π) =-1 となります.

  しかしながら、一般にZを複素数で表す時、偏角に2mπを加えただけの自由度があるのですが、
  (-1)^(1/2)の値を -i でなく i としたように、偏角が最も小さいZを Z^(実数) の値とします.
  つまり、(-1)^(1/3)={cos(π)+i・sin(π)}^(1/3)= 1/2+i・(√3)/2  とするのです.

  この、2mπの自由度を考慮すると複素数の世界では
   (Z^p)^q=Z^(p・q) という公式がすべての複素数 Z,p,q について成り立ちます.

4.さらに,複素数の範囲でも「微分」は定義できますが(複素関数論),
  一般的には変数も関数値も複素数の範囲になるので,微分の意味がやや難しくなります.
  しかしながら,いわゆる初等関数は,ほぼ同じ形の微分が存在します.
  それで,問題の関数は複素数の範囲でも微分が存在し
   f(Z)=Z^(n/m) (z:複素数、ただしz≠0,n,m:整数)では,
   f'(Z)=(n/m)Z^(n/m-1) となります.
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とてもつまらない議論です。

奇数乗根は符号を保存します。

-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=√1=1

頭は大丈夫ですか。

-1=(-1)^(2・1/2)={(-1)^2}^(1/2)=1^(1/2)=±1

これから-1を独断で選択しているのにすぎません。a<=>0で区別しろと教科書は言っているのです。

何も変わらない、とてつもなく無意味で不毛な議論です。

へ理屈をこねるな。ちゃんと王道に沿って勉強せよ。
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ある意味非常に良い質問です。


質問文の問題は、3乗根(一般には奇数乗根)だから、xが負でも解が得られます。(3乗の場合は、負の数が基底でも、解は負の数になります)
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