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No.3
- 回答日時：
＞極限が0になるだろうということは予想がついていました
どういう根拠で, その数列が収束して, かつ, 極限値が 0 だと予想したのですか.
その根拠とやらをヒントに, 証明を試みてください.
すでに十分考えたのであれば, その具体的内容を書いてみてください.
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No.4
- 回答日時：
＞この二つの近似の差はどうなるのだろうと考え、質問の式を思い付きました。
この二つの「近似」と言っていますが,
1 + 1/2 + ... + 1/n ≧ n((n + 1)^(1/n) - 1)
は不等式であって, 近似式ではありません.
よって, もしかしたら,
1 + 1/2 + ... + 1/n >> n((n + 1)^(1/n) - 1)
かもしれません.
＞グラフ描画ソフトで描いてみたところ、どうも0に収束しそうだと分かり、
0 に収束すると考える根拠として, いい加減すぎます.
例えば, lim a_n = a, lim b_n = b で,
仮に | a - b | = 1/(10000^10000) だとしたら, グラフ描画ソフトでは, あたかも a = b であるかのように見えてしまいますよね.
x_n = n((n + 1)^(1/n) - 1) - log(n) とするとき,
貴方の収穫は, グラフ描画ソフトを頼りに「n が十分大きければ, x_n の値は 0 に近いと感じた」ということだけです.
{ x_n } が収束することの証明に関しては, 何一つ試みていません.
もちろん, lim x_n = 0 であることの証明に関して, 何もしていません.
何に対してロピタルの定理を使ったのかも, まったく書いていませんよね.
幸い, lim x_n = 0 であるらしいということは, すでに判明しています.
あなたの根拠のない予想は, どうやら間違っていなかったようなので, 安心して証明に着手してください.
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No.5
- 回答日時：
補足要求も, あまり何度も繰り返すと, マナー違反になりませんか.
数列という, 定義域が N の部分集合である関数にロピタルの定理を使おうとするなど, 彼方の発想はことごとく数学的でありません.
＞どなたか教えていただけないでしょうか。
誰に語りかけているのでしょうか.
あなたの最初の質問は,
＞lim(n→∞)(n((n+1)^(1/n)-1)-logn)=?
です.
0 に収束するらしいという情報提供により, 私の役割はすでに終了しています.
リンクを貼ったサイトは, ときどき計算間違いをするので, 最終的にはご自身で判断してください.
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No.6ベストアンサー
- 回答日時：
いささか乱暴な物理数学風でやってみようかな。
えーと、まず(n+1)^(1/n)ってところ、n→∞なら(n+1)もnも一緒でしょ、ということで、
n((n^(1/n))-1) - ln(n)
を考えことにする。
また、nを正の実数だと思ったとき、上記の式は連続関数になっていて特異点もないから、nを正の実数に拡張しても問題ないでしょ。ならば
x = 1/n
としてx→+0を考える方がなじみがあるなあ。
ε = (((1/x)^x) - 1)/x + ln(x)
とおき、移項して
1+x(ε-ln(x)) = (1/x)^x
さらに両辺の対数をとって移項すると
ln(1+x(ε-ln(x))) + x ln(x) = 0
ここから、x→+0のときxε→0であることは簡単に出る（ので省略）。つまりx→+0の極限でεが（何か有限値に）収束することが確認できた。さて、ちょっと戻って（てか、x>0なんで）
ln(1+x(ε-ln(x)))/x + ln(x) = 0
ln(1+t)のマクローリン展開は
ln(1+t) = -Σ{k=1,…,∞} ((-t)^k)/k
だっけか。これを使うと、
ln(1+x(ε-ln(x))) = x(ε-ln(x)) - Σ{k=2,…,∞} (-(x(ε-ln(x)))^k)/k
つまり、
ln(1+x(ε-ln(x)))/x + x ln(x) = ε- Σ{k=1,…,∞}((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)
で、左辺は0だというのだから、
ε= Σ{k=1,…,∞}((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)
を得る。
右辺の各項の(ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)の展開を考えると、x→+0でxln(x)→0, x((ln(x))^2)→0であることと、εが有限であることから、x→+0のとき、展開に現れる
(x^k)((ln(x))^(k-m))(ε^(m+1)) (0≦m≦k)の形の項は全部→0
(x^k)((ln(x))^(k-m+1))(ε^m) (0≦m≦k)の形の項も全部→0
なので、
((ε-ln(x))(-x(ε-ln(x)))^k)/(k+1)→0
つまり、右辺は各項ごとに収束して全部0。従ってx→+0で
ε→ 0
だな。
計算間違いの常習犯なので、チェックよろしく。
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No.7
- 回答日時：
> 出来れば、x→+0のときxε→0ならばεは収束する理由も教えていただきたいです
ははは。そこはすでに数値実験なさってるんだから大丈夫だろうけど、あからさまな矛盾がないことの確認のみ。暗算でもできちゃうからです。きちんとやりたければx≒0でのεの振る舞いを調べることになるけど、めんどっちいことは飛ばしちゃう物理数学風〜
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証明もできればお願いします
極限が0になるだろうということは予想がついていました。どうしても証明出来ないので質問しました。
n((n+1)^(1/n)-1)もlognも調和級数の和の近似になっているのはわかるのですが…。
∑(k=1→n)1/k≒lognはよく知られています。
n+∑(k=1→n)1/k
=∑(k=1→n)(1/k+1)
=2/1+3/2+4/3+…+(n+1)/n
≧n(2/1×3/2×4/3×…×(n+1)/n)^(1/n)
(∵相加平均≧相乗平均)
=n(n+1)^(1/n)
∴∑(k=1→n)1/k≧n((n+1)^(1/n)-1)
lognと調和級数の和の差はオイラー定数γに収束するそうですが、この二つの近似の差はどうなるのだろうと考え、質問の式を思い付きました。
グラフ描画ソフトで描いてみたところ、どうも0に収束しそうだと分かり、証明しようとしましたが、ロピタルの定理を使ってもうまくいかず、質問させて頂きました。
おっしゃる通りです。正確に言うと、
1 + 1/2 + ... + 1/n ≧ n((n + 1)^(1/n) - 1)
の両辺にどれくらい差があるのかを知るために、左辺の近似であるlognと比較した結果、数値計算的に大きなnに対して非常に0に近い数値になったために、質問の式は収束し、かつ収束値は0だと予想したわけです。この予想はn((n + 1)^
(1/n)-1)がlognと同程度によい近似であることを含んでいます。
ロピタルの定理は、
lim(n→∞)(n((n+1)^(1/n)-1)-logn)
=lim(n→∞)(loge^(n((n+1)^(1/n)-1))-logn)
=lim(n→∞)log(e^(n((n+1)^(1/n)-1))/n)
=log(lim(n→∞)(e^(n((n+1)^(1/n)-1))/n))
としてから分母と分子を微分しましたが、式がとても複雑になった上に、収束も明らかにはなりませんでした。
そもそもロピタルの定理の適用条件である分子の発散を示すことが出来ません。
私の知っている方法では、どうしたらいいかまったく見当がつきません。どなたか教えていただけないでしょうか。