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アルキメデス螺旋 r=aθ を描画し,その螺旋曲線状に等間隔の点を描画していきたいのですが,どのようにすればできますでしょうか?
角度ピッチを等しくというのはθを一定ピッチで刻めばよく,簡単に描画できますが,その場合rが大きくなればなるほど,隣り合う点の間隔が広くなっていきます.等間隔点を螺旋曲線状に描画する方法を教えてください.
よろしくお願いします.

A 回答 (3件)

極方程式r=f(θ)における弧長sはwikipedia等を参照すれば明らかなように



s=∫[α→β]√[r^2+(dr/dθ)^2]dθ

で与えられる。sは角度αからβまでの弧長である。

r=aθの場合

s=a∫[α→β]√[θ^2+1]dθ

となり、積分の公式を参照して

s=(a/2)[θ√(θ^2+1)+log(θ+√(θ^2+1)][α→β]

=(a/2){[β√(β^2+1)+log(β+√(β^2+1)]-[α√(α^2+1)+log(α+√(α^2+1)]}

従って指定された角度αのところと次式で定まる角度βのところ

β√(β^2+1)+log(β+√(β^2+1)=2c/a+[α√(α^2+1)+log(α+√(α^2+1)]

で接版すればよい。したがって、上の式の右辺は定数c'であって、c'に応じて

β√(β^2+1)+log(β+√(β^2+1)=c'

を満たすβを求めれば良い。

しかしながらこの式はβに関する超越方程式となっており、解析的に求めるのは不可能であり、何らかの数値的な解法を用いる必要がある。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答をありがとうございました.
確かにネットで調べるといくつか難しい数式が載っていて,でもすっきりした答えらしきものがない,と思っていたのですが,
「この式はβに関する超越方程式となっており、解析的に求めるのは不可能であり、何らかの数値的な解法を用いる必要がある。」
という説明が明快であきらめがつきました.どうもありがとうございました.

お礼日時:2015/07/16 00:34

アルキメデスの螺旋でよければ曲線の長さが解析的に計算できるので, 逆に長さから角度を計算することができます.

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厳密に等間隔で、というのなら曲線の長さを計算しなければならないのでかなり難しいと思いますが、


アバウトでもいいのなら、局所的に螺旋を円の一部(円弧)とみなして、弧の長さが一定になるように角度ピッチを定めればいいのでは。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます.できればその厳密な計算の具体的なやり方か,作図的なテクニックのどちらかが欲しいです.よろしくお願いします.

お礼日時:2015/07/15 11:54

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L=∫r(θ)dθ ではなくて、L=∫√{(rdθ)^2 + dr^2} = ∫√(1+θ^2)dθ
で計算しないと駄目です。

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Aベストアンサー

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すなわち、

 ・x = r cosθ
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No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます.

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(2)  r = bθ
であらわされます.
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他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
(3)  r = e^(cθ)
や,双曲線螺旋
(4)  r = d/θ
があります.

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
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