素因数分解とは？

こんにちは、中2女子です。

72/nがある自然数の2乗になるような自然数ｎの値を、全て求めなさい。

という問題について、これは素因数分解を使うものですよね？
次の式を因数分解しなさいのような問題は解けますが、
素因数分解、あの割り算をひっくり返したような（ごめんなさい）のは
いまいちわかりません。

解答解説よろしくお願いします。

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2015/08/09 14:04

72を素因数分解したら、2^3×3^2。

ある自然数の2乗になる＝乗数が偶数になる。
n=2
72/2＝2^2*3^2=36
n=2^3=8
72/(2^3)=3^2=9
n=2*3^2=18
72/(2*3^2)=2^2=4

No.2 回答者： soixante 回答日時： 2015/08/09 14:15

ある数字を素数の掛け算の形にバラバラにすることです。

たとえば、６は、２*3　でできています。
20ならば、2*2*5　で出来ていますし、120ならば、2*2*2*3*5　でできていますよね。

ある数字がある自然数の2乗になる、ってどういう状態か考えてみましょう。

９＝3*3
25＝5*5
36＝6*6＝（2*3）*（2*3）＝(2*2)*(3*3)
49＝7*7
64＝8*8＝（2*2*2）*（2*2*2）＝(2*2)*(2*2)*(2*2)
81＝9*9＝（3*3）*（3*3）＝(3*3)*(3*3)
100＝10*10＝（2*5）*（2*5）＝(2*2)*(5*5)
900＝30*30＝（2*3*5）*（2*3*5）＝（2*2）*（3*3）*（5*5）

このように素因数分解した結果、同じ数が２回ずつ掛けられていれば２乗になってます。
同じ数を2個ずつペアにしてマルでくくってやってください。
上の例の100の場合、２が2個、５が2個　のようになってますよね。
900の場合なら、２が2個、３が2個、５が2個　になってますよね。

じゃあ、72/ｎ　がある自然数の2乗になってるというのはどういうことか。
まずは72をバラしてみると、
72＝2*2*2*3*3　　　ですね。
分かりやすくくくると、（2*2）*2*（3*3）

このように、２が2個、3が2個、とくくれますが、もう一つ２があるので浮いてしまいます。
となると、72は何かの2乗ではないことになります。

ここから、ｎで割ったものが何かの2乗になる、つまり、素数のペアだけの状態にできれば題意を
満たしますから、それを考える。

ここから２を一つ取り除いてやる（＝２で割る）と、2が２つ、3が２つとなります。
（2*2）*（3*3）　　つまり　36。　確かに６の2乗になっています。

あるいは。
２を3つ取り除いてやる（8で割る）と、３が２つのペアだけが残る。
（3*3）　　つまり９。　　これも３の2乗になっています。

あるいは。
３を２つと、２を１つ取り除く（＝18で割る）と、２が２つのペアだけが残ります。
（2*2）　　つまり４　　これも2の2乗。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/09 15:28

> これは素因数分解を使うものですよね？

いや、そうとも限りません。

分母nが自然数ですから、72/nは72より必ず小さい。
そこで、小学校でかけ算を習ったときの九九の表を持ってきます。その表の対角線を眺める。インイチガイチ、ニニンガシ、サザンガキュー、ってのが並んでましょ？これらが「ある自然数の２乗」であり、（九九の表に出て来る最大値はククハチジューイチですから、）72より小さいものは全部網羅されています。
あとは、72÷nがこれらのうちのどれかになるようなnを全部書き出すだけ。こうなれば小学校中学年向きの問題ですね。

　問題を解くのにいろんなアプローチがあり得ます。「直感で最初に思いついた」に過ぎない特定のアプローチにばかりこだわってると、簡単な問題も難問に見えてしまいます。

No.4 回答者： w_letter 回答日時： 2015/08/09 20:36

こんばんブゥ

この問題は、たブゥだけど、ｎ＝７２を忘れるかどうかをみてるだけの問題じゃないかなぁ・・・

ｎ＝２，８，１８，７２

の４つですブゥ

No.5 回答者： jmh 回答日時： 2015/08/09 22:17

「あの割り算をひっくり返したような（ごめんなさい）」が分かりません。

「あの割り算をひっくり返したような（ごめんなさい）」の想像図：

２）７２
　－－－
２）３６
　－－－
２）１８
　－－－
３）　９
　－－－
３）　３
　－－－
　　　１

こうですか？