孤を3等分する点の作図

Question

孤を3等分する点は、作図によって求めることはできますか？
孤を2等分する2等分の点は、弦の垂直二等分線と孤の交点と同じなので、作図できることを証明できました。(円周角の定理より)
孤を3等分する点の作図方法をご存知の方は解説お願いします。理論的に無理な場合も教えてください。

stomachman · Accepted Answer

「孤」じゃなくて「弧」ね。
また、「作図」ってのは「平面上で、コンパスと目盛りなしの定規だけを使って」ってことですね。

「もし弧の三等分点を作図する方法があるのなら、角の三等分線が作図できる」
証明：角ってのは同じ点xから伸びる相異なる２つの半直線a,bでできているんだから、xを中心とする円を描いて、この円とa, bとの交点をそれぞれp,qとし、弧pqの三等分点r,sを作図して、xとr, xとsをそれぞれ結ぶ線分を描くと、角の三等分線が出来上がり。 (Q.E.D.)

で、「角の三等分線は作図できない」ということが知られている。ということは、「弧の三等分点を作図する方法はない」ってことです。

ORUKA1951 · Answer

そもそも
＞角の三等分線ではなく、孤を3等分する点の作図について直接教えてくださいますか？
　角の三等分線＝孤を3等分　ということは理解できてますか？？

不可能である事が証明されているのですが・・・数学ではあまりにも有名な常識なのですが・・

turboranger · Answer

弧の三等分が可能であるというなら、任意の角に対してその交点を中心として円弧を描き、その弧に対して三等分作図をすることで角の三等分が実現できてしまいます。角の三等分が不可能であると証明されている以上、弧の三等分も不可能なのです。

lupan344 · Answer

質問文は、角の3等分問題と同値（任意の円弧が3等分出来れば、角の3等分も可能）なので、一部の角度（45°、72°、90°、180°）を除いて、目盛の無い定規とコンパスだけでは作図出来ません。
なお、90°以内の角度に関しては、折り紙を使えば作図可能です。
不可能な事の証明は、以下のリンクを参照してください。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/algebra/algebra3.htm

overtone · Answer

質問者さんの学年がわかりませんが、面白い論文を見つけました。
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/05kurano.pdf

oo14 · Answer

どうぞ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E8%A6%8F%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E4%BD%9C%E5%9B%B3

孤を3等分する点の作図

「孤」じゃなくて「弧」ね。

そもそも

弧の三等分が可能であるというなら、任意の角に対してその交点を中心として円弧を描き、その弧に対して三等分作図をすることで角の三等分が実現できてしまいます。

質問文は、角の3等分問題と同値（任意の円弧が3等分出来れば、角の3等分も可能）なので、一部の角度（45°、72°、90°、180°）を除いて、目盛の無い定規とコンパスだけでは作図出来ません。

質問者さんの学年がわかりませんが、面白い論文を見つけました。

どうぞ

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