高校数学の必要条件・十分条件について質問です。

x≧0, y≧0とし、不等式
c(x+y) ≧ 2√(xy)・・・①
を考える。ただし、cは正の定数である。
(1) c ≧ 1のとき、①は常に成り立つことを示せ。
(2) ①が常に成り立てば、c ≧ 1であることを示せ。

この問題についてなんですが、(2)の解答が
「①が常に成り立つことより、①においてx = yの時も成り立つことが必要であるから、x = y = 1とすると
2c ≧ 2
よって
c ≧ 1」
となっていますが、なぜ1つの場合（x = y = 1）を考えただけで答えを一般化出来るのでしょうか。

p,qをそれぞれ
p: c ≧ 1
q: ①が常に成り立つ
とすると、(1)から命題p → q は真なので、pがqの十分条件であることは分かります。(2)の題意はqがpの必要条件でもあることを示すことです。
ということは、(2)を解いている時点では命題q → pの真偽は分からないということです。つまり、この時点ではpはqに含まれている、すなわちqはpを含むとしか分かりません。もしかしたらqであってpでないこともあるかもしれないのです。
この状態で1つの値を代入しただけで、その結果が題意を満たすことができるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/11/14 19:02

No.1の補足です：

異なる命題同士で、どちらかを「含む」という考え方は、混乱を産みます。
はっきり定義された集合に直して、集合の包含関係を比較しましょう。
この例だと、

命題pに対応する集合はSP「１以上の実数の集合」（こう集合SPを定義します）、
命題qに対応する集合はSQ「c(x+y) ≧ 2√(xy)がすべてのx≧0,y≧0に対してなりたつような実数cの集合」（こう集合SQを定義します）ですので、

p → q　は　SP⊂SQ　（集合SPは集合SQに含まれる）
q → p　は　SQ⊂SP　（集合SQは集合SPに含まれる）

に対応します。

SQ⊂SPを示します：実数cを集合SQの元（要素）としますと、c(x+y) ≧ 2√(xy)がすべてのx≧0,y≧0に対してなりたちます。特にx=1,y=1に対しても成り立たなければなりませんので、c(1+1) ≧ 2√(1x1),つまり、c ≧ 1が成り立たなければなりません。したがって、cはSPの元にもなっています。これで、SQ⊂SPが示されました。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございました。包含関係を調べるとき、左辺の最小値はx=1,y=1のとき（相加平均、相乗平均の関係から）なので、このときにSQが真であれば十分であるということですね。

>>はっきり定義された集合に直して、集合の包含関係を比較しましょう
この考え方は今後数学の問題を解く時に使わせていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2015/11/14 21:40

No.1 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/11/14 17:08

問題の書き方が少し、誤解を生むのかもしれませんね。

cを固定された実数とする。
命題p: c ≧ 1
命題q: c(x+y) ≧ 2√(xy)がすべてのx≧0,y≧0に対してなりたつ

と書けば、わかりやすいのではありませんか？

(2) は命題qを仮定すると、命題pが成立しなければならない、ことを示すのですよね。
命題qを仮定するということは、すでにすべてのx≧0,y≧0に対してc(x+y) ≧ 2√(xy)がなりたつように一般化してあると仮定しましょうということです。すでに一般化することを仮定してあるのですから、それを使って特別な場合、x = yの時も成り立つことを使ってよいのです。