こんにちは、
下記HPのP6を見ますと
g_μν g^μν=D
となっております。Dは次元のことです。
この関係は、平らな ミンコフスキー空間では成立しますが
一般相対論の曲がった時空でも成立するのでしょうか?
逆に言いますと、曲がった時空の計量テンソルは、この関係を満たす
必要があるのでしょうか?
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/field/di …
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
きちんとお示しのファイルを読むのは大変そうなので、読まなくてもわかる部分だけにします。
① 至るところでお示しのような計量テンソルになっているケースを考えているのなら、単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎません。(つまり重力はどこにもありません)
したがって、物理的に意味のある量を計算しているのであれば、斜行座標系でも同一の結論になるはずです。
②
g^μνg_μν=4は定義から導出されるので、1+3次元の時空を考える限り4以外の値になることは決してありません。
ならなかったのなら、計算ミスか一般的な定義とは違う意味でg_μνなどの記号をもちいているかのいずれかでしょう。
③
回答をきちんと読んで下さい。
ご回答有難う御座います。
>単にミンコフスキー時空で"斜交座標系"を設定しているに過ぎません。(つまり重力はどこにもありません)
単に"斜交座標系"を設定しているだけとは、気が付きませんでした。(g^μνg_μν=4になるように、むちゃくちゃ適当にg^μνを決めました。)
"斜交座標系の設定”について認識しました。有難う御座います。
この計量が"斜交座標系"になっていること等を確認します。→まずは再認識させて頂きましたお礼をさせて頂きます。
確認後、再度補足させて頂きます。(多分、、、、、、、、どうやっても、単に斜交座標系を設定しているだけなら、このまま終わるかもしれません。→悲惨)
No.2
- 回答日時:
g_μν g^μν=Dは常に成り立ちますが、
g_μν,g^μνの定義に戻って考えれば、単位行列のトレースを計算しているに過ぎません。これが行列の次元に等しくなるという事に物理的な意味があるとはとても思えません。
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ご回答有難う御座います。
>g_μνの逆行列がg^μνですから、当然そうなります。
> 計量テンソルの持つ性質というよりも、ただの定義の問題です。
なんらかの物理的な意味があると思います。
D=4 すなわち4次元だけの場合を考えますと、
①曲がった時空でも、常に不変量として
g_μν g^μν=4
になるということではないでしょうか?
②それとも、g_μν g^μνが、4以外にもなることがあるのでしょうか?
感覚的には、平らな(ミンコフスキー)でない空間でも、常に①の通り
g_μν g^μν=4
が成立するような気がします。
ご回答有難う御座います。
確かに、その通りかもしれません。
場の量子論 F.マンドル/G.ショー
P237、P238には、そのように記載されてます。
仮に、
g_μν≠0 (μ≠ν)
の場合、
g_μν=0 (μ≠ν)
のときと同じように、数学的には、(例えば真空偏極の場合)
この次元正則化によって、有限値が得られるのでしょうか?
お返事ありがとうございます。
次元正則化は、例えば下記HPのP89のg^μν*g_μν=d(d=4)で計算してます。
P38の式(267)は、真空偏極のCounter-termですが
g^μν={{-1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}
の場合、g^μν*g_μν=4となり、この解(無限大)が得られます。
そこで質問です。
①
g^μν={{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
の場合も、g^μν*g_μν=4となります。
このとき、P38の式(268)=有限値は、得られるのでしょうか?
②
私が計算しますと
g^μν*g_μν≠4のとき、P38の式(267)は、無限大にならないです。
(文字オーバなので、お礼の欄に続きます。)
例えばg^μν*g_μν≠4になるのは
g^μν={{-1,0,0.6,0},{0,0.8,0,0},{0.6,0,1,0},{0,0,0,1}}
のときです。
この意味は、次元正則化の計算法が適用できないのでしょうか?
それとも、g^μν*g_μν≠4のときには、無限大が発生していないことを意味しているのでしょうか?(無限大の困難が発生しないこと)
それとも、計算間違いでしょうか?例えば、g^μν*g_μν=10とかは、無限大になるのでしょうか?
③
曲がった時空の計量テンソルは、常にg^μν*g_μν=4を満たしているのでしょうか?
内部空間は4次元の場合、常にg^μν={{-1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}ですから、g^μν*g_μν≠4のときを考えても物理的な意味はないかもしれませんが、数学的にどうなるかを教えてほしいです。
参考HPです。
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/pap/2007to …
お返事有難う御座います。
斜交座標は、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%9C%E4%BA%A4 …
とかです。
{{-1,0,0.6/√2,0},{0,0.8,0,0},{0.6/√2,0,1,0},{0,0,0,1}}
は、斜交座標とは違うと思います。
下記行列も、g^μν*g_μν=4になります。
これも、斜交座標でしょうか?重力場は、10個(対称行列)の成分なのですから、下記のようなものは
重力があると思います。
{{-1, 0, 1.22, 0.83}, {0, 0.8, 0, 0}, {1.22, 0, 0.6, 0}, {0.83, 0, 0, 1}};