楕円の平行移動と回転

よろしくお願いいたします。
長くなりますがご容赦ください。

（問題）
東京理科大学の２０１５年度の問題です。
問題文が長くなってしまうので、URLのペーストですが、ご勘弁ください。
また解答が付属しておらず、大手予備校の過去問データベースにはあるのですが、ログインが必要なため、添付できません。お手数ですが参照をお願いいたします。

https://suugaku.jp/kako/tokyoridai/20354.html

上記サイトの（１）の（iii）の問題なのですが、求めたい図形上の点Q(x,y)は、点B,Cを焦点とする斜めの楕円なので、①点B,Cを複素数平面を利用してπ/4回転させ、②全体をy軸方向に-1/√2平行移動する　ことでx軸上に焦点がある楕円に変換しました。
これは焦点が（±1/√2,0）で長軸の長さが4-√2の楕円なので、この楕円上の点をR(X,Y)とすれば
X^2/(9/2-2√2) + Y^2/4-2√2 = 1 …(*)とわかりました。

あとはこの図形を上記の①、②のステップを逆戻りすることで求めたい図形の式になると思うのですが、ここで疑問が出てきました。

まずこの図形を②の逆操作としてy軸方向に1/√2平行移動しなければならないので、Xはそのまま、YをY-1/√2と置き換え、次に①の逆操作として点(X,Y-1/√2)を複素数平面を利用して-π/4回転させました。

ところが、回答を見てみると②の逆操作の部分が間違っているようで、YをY+1/√2
と置き換えなければ解答のようにならないのです。私の考えとは変換の符号が反転しています。

通常y=f(x)をx軸方向にp、y軸方向にq平行移動するときはy-q=f(x-p)と計算すると思うのですが、本文ではなぜ入れ違ってしまったのでしょうか。
わかりにくく申し訳有りませんが、お願いいたします。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2016/01/29 10:24

この問題は座標の回転を考える問題でなく、計算力を試すだけの問題です。

試験問題は迅速かつ正確に買いを出さなければなりません。楕円がらみの座標の回転なんて美しい話に酔わないほうが身のためです。

要はQ(x,y)の軌跡を求める話で、条件はQC+QB=4-√2です。C(0,1), B(1,0)だから

√[x^2+(y-1)^2]+√[(x-1)^2+y^2]=(4-√2)　　　（1）

を整理するというだけの話です。

一番大事なことは問題に出ている式に合わせて計算を進めるということです。この場合

(x-y)^2/α+(x+y-γ)^2/β＝1　　　　　　　　　　（2）　　　

をにらみながら変形していくということです。　　

(1)は楕円特有の変形を要求していることが解りますか。

√[x^2+(y-1)^2]＝c-√[(x-1)^2+y^2] (c=(4-√2))

両辺を２乗して√を１個外し、√　＝　という形にしてからもう一度２乗して√　を外します。

そのあたりで

x+y=p, x-y=qによってp,qを導入します。（2）を見ればその必然性がわかるでしょう。

結局

(p-1)^2/[(c^2-2)/2]+q^2/(c^2/2)=1

の形になり、

γ=1, α=c^2/2=9-4√2, β=8-4√2


x+y=p, x-y=qという変数変換は計算の便利さのために導入しましたが、もちろんこれは座標系を４５度回転すればxyの項が消えるということ、つまり標準形にできるということを示しています。解が出てから多角的に検討することは重要ですが、穴埋めのような速さと要領を問う問題でどの解法が最適かを考えながら進めてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
楕円の定義に従って解く方が本番では安全ですね。
計算が多いとつい萎縮してしまうのですが、工夫してできるようにならなければいけませんね。
ただ、演習という意味では今回の考え方はどこが誤っているでしょうか。
全国入試問題正解には同様の回転による解説がありました。

お礼日時：2016/01/29 11:43