媒介変数を含む関数の図示

よろしくお願いいたします。
東京理科大学の2015年の過去問なのですが、問題が長くなってしまうため、URLのペーストでお許しください。
https://suugaku.jp/kako/tokyoridai/21707.html

上記の問題の（1）～（3）は問題なく解けました。（ただの計算だったので・・・）
（4）なのですが、Ctの定義に従えば、0≦t≦√3 , -1/2≦s≦1 のもとで
x=ft(s)=s+t√(1-s^2)
y=gt(s)=√(1-s^2) -st
と表せます。

ここからxy平面に図示することになりますが、媒介変数の処理で躓いています。

図示すべき領域に属すある点を(X,Y)とすると、

X=s+t√(1-s^2)
Y=√(1-s^2) -st

を満たす実数s,tが -1/2≦s≦1,0≦t≦√3　に存在すればよい。（逆像法？）

ということになると思うのですが、ここから先の計算法がわかりません。

全国入試問題正解の回答には（１）（２）を踏まえてベクトルのまま扱う方法やs=cosθと置く方法がが載っており、その方が簡潔でいいと思うのですが、もし本番だと上記のような代数的な方法しか思いつかないと思いましたので、その方法での解き方をご教授いただけたらと思います。

媒介変数の処理は
x=t^2
y=t^2 -1
のようなごく簡単なものなら範囲に注意して消去できるのですが、今回のような2変数など複雑なものになるとどこまで条件を求めればいいのかわからず混乱してしまいます。
根本的な理解が足りていないのかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/02/01 21:28

－１≦ｓ≦１ で、１－ｓ^2 を見たら、三角関数を思い浮かべないと。

ちょいちょい出てきますので、覚えておいた方が良いでしょう。
そもそも、(ｓ、√(１－ｓ^2) )は単位円上の点で、直角三角形の話です。底辺がｓで斜辺が１の直角三角形の高さは。
まぁつまり、(cosθ,sinθなんですが。
ここまでヒント出まくりですから。

ついでに。
答えは知りませんが、２×sinπ／３＝√３、２×cosπ／３＝１、だろうと思います。

－sin^2θ＋２cosθ＋５ の最小値を求めろ。(０≦θ＜２π)
なんて問題はどうでしょう。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/02/01 10:02

原理的には、

X=s+t√(1-s^2)
Y=√(1-s^2) -st
で式が２個あって、未知数がs,tの２個なんで、
s=XとYの式
t=XとYの式
と解けるはずです。
で、これを条件式、0≦t≦√3 , -1/2≦s≦1 に代入すれば、ＸとＹについての不等式が２本できるわけで、それを満たす範囲が求める図形ということになります。

ただ、この方針で実際に手で計算しだすと、普通の人なら結局のところ計算している途中のどこかで s=cosθと置き換えようと考えつくことになるはずです。
この置き換えを考え付かなかったとしても最後まで計算することは不可能ではないとは思いますが、
それは、三角関数の性質（加法定理とか）を試験最中にその場で証明するのとほぼ同等の手間でしょうね。（おそらく、計算途中で挫折するのでは）

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/01 06:18

X=s+t√(1-s^2)

Y=√(1-s^2) -st
をs,tについて解き、F(s,t)=0に代入してX,Yの関係に直すというのが通常のあつかいです。sとtの関係式F(s,t)=0はないのですか。