交流回路の実効値について

交流回路の電圧の実効値はなぜ

「二乗和の時間平均の平方根」
　Ve=√{（1/T)×∫[0,T]e^2dt}…①

となるのでしょうか？

なんとなく、
「二乗和の平方根の時間平均」
　Ve=(1/T)×√{∫[0,T]e^2dt}…②

のような気がしたのですが？

質問者からの補足コメント

• 欲しい回答に辿り着けば…という願いを込めて質問を変えてみます。
  
  直流電源のR回路のRにおける電力の時間平均は、
  P‾=IV　で表されると思います。（時間平均をとるまでもないですが）
  
  交流電源のR回路における電力の時間平均は、
  P‾=IeVe　で表されると思います。
  
  この時の　Ve　はなぜ、「二乗和の時間平均の平方根」で求める事が出来るのでしょうか？

    補足日時：2016/02/09 20:39

No.17 回答者： ricardo_ 回答日時： 2016/02/13 23:00

＞どうして正弦波を二乗すると立体が得られるのですか？

二乗すると言う事は、その値を半径とする円の面積に比例します。
それが１周期に渡って行われればソロバンの玉のような形になります。
この体積が、電力量に比例します。
その平均電力は、最大電力の１／２。
それと同じ電力になる直流電圧が実効値。

No.16 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 19:16

RMSが先に出てくるという説明は全くのデマです。

No.15 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 18:19

どこか勘違いがあるのかな？

No.10のようなものが基本で、「加算物理量」の平均値は実効値と同じになりますが、電圧や電流は加算的ではない。

電力がエネルギー加算(平均化)可能であることを担保として、それを基に電圧と電流の実効値を決めているだけです。


RMSの概念は"基本的に電力の平均化"という加算的な計算を基にしているということです。
エネルギーは時間加算可能であり、周期的であれば平均値が計算可能である。これを実効値と呼んでいる。
この実効値を非加算的な電圧と電流の実効値を加算的な電力の実効値で置き換えているのです。

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/13 16:41

>交流電源のR回路における電力の時間平均は、

>P‾=IeVe　で表されると思います。
>この時の　Ve　はなぜ、「二乗和の時間平均の平方根」で求める事が出>来るのでしょうか？

ちょっと思い込みが有りますね。まず二乗平均の平方根(RMS)があって
交流(sin波)ではそれが電力の計算に使えるということです。
より一般的な交流波形ではRMSは電力の計算には使えません。

交流(sin波)の場合、たまたま Vrms=Ve=Vm/√(2) の関係になり、
電力の計算に都合よく使えることは、AN07に示しました。

No.13 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/02/11 01:43

> P‾=IV　で表されると思います。

（時間平均をとるまでもないですが）

そのまま直流で考えれば良い。
P‾=IV
　＝(V^2)／R
でしょう。
P(時間に依らず一定)を０～Tで積分すると、PT。
PT＝(V^2)・T／R
V^2＝PT・R／T
V＝√(PT・R／T)
P＝(V^2)／Rだから、RやZはそのまま消せて、
V＝√{(V^2)・T／T}
交流の場合は、V^2をTで積分するからV^2・Tまでがセットで出てくるんでしょう。
そのTの成分を消してやらないと、単位をボルトにできない。
あなたの式と正しい式と、両方、単位だけ入れて計算してみれば良い。
正しい式の単位は、ちゃんとボルトになるけれど、あなたのは平方根sがどうしたこうしたとなるはずです。

No.12 回答者： ricardo_ 回答日時： 2016/02/10 23:51

その交流で電球を光らせたとき、同じ明るさになる直流電圧の事を実効値と言います。

電力は電圧の二乗に比例するので、正弦波を二乗すればソロバン玉のような立体が得られます。
　それと体積が同じになる円筒形の半径が実行値です。
　サインとコサインを二乗して足せば１になります。これはピタゴラスの定理になります。
この先は自分で考えてごらん。

この回答へのお礼

>正弦波を二乗すればソロバン玉のような立体が得られます。
どうして正弦波を二乗すると立体が得られるのですか？
わかり易く教えてください。

お礼日時：2016/02/12 23:22

No.11 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/10 22:02

余談

電力の平均値が0の場合、電源側と負荷側(？)をエネルギーが行き来しているだけで、消費電力がない状態を表します。(V=0、R=0)
(コイル、コンデンサは回路上でエネルギーを蓄え、放出するから、理想コイルと理想コンデンサだけを使えばそんな回路もできる)

No.10 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/10 21:38

電力の平均値=実効値

だから積分して区間で割るだけ。…①

電力P=V^2/R=RI^2…②
だから、電力の実効値を計算すると電圧の二乗、または電流の二乗の実効値を計算することになる。
従って、「電圧や電流で考えると①の部分に2乗して積分して区間で平均化して、さらに②で電圧や電流が二乗されているから、平方根を取らないとならない。」

「二乗和の時間平均の平方根」を簡単に説明するとこんな感じになります。

No.9 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/10 19:17

ちなみにNo.8で計算するとPe=P/2

No.8 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/10 19:15

No.3です。

お礼の内容に関して。

Pの平均値は、区間をTとして(1/T)∫Pdtです。これは実効値です。

P=V^2/R=RI^2を用いると、
(V=Ve*sin(2πt/T)、I=Ie*sin(2πt/T)とおく)
Pe=(1/T)∫Pdt
=(1/T)∫V^2/Rdt
=(1/T)∫Ve^2*sin^2(2πt/T)/Rdt
=(1/T)∫Ve^2*(1/2+cos(2πt/T)/2)/Rdt
=(Ve/√2)^2/R
となり、
P=V^2/RのVに対応するのはVe/√2