交流回路の実効値について

交流回路の電圧の実効値はなぜ

「二乗和の時間平均の平方根」
　Ve=√{（1/T)×∫[0,T]e^2dt}…①

となるのでしょうか？

なんとなく、
「二乗和の平方根の時間平均」
　Ve=(1/T)×√{∫[0,T]e^2dt}…②

のような気がしたのですが？

質問者からの補足コメント

• 欲しい回答に辿り着けば…という願いを込めて質問を変えてみます。
  
  直流電源のR回路のRにおける電力の時間平均は、
  P‾=IV　で表されると思います。（時間平均をとるまでもないですが）
  
  交流電源のR回路における電力の時間平均は、
  P‾=IeVe　で表されると思います。
  
  この時の　Ve　はなぜ、「二乗和の時間平均の平方根」で求める事が出来るのでしょうか？

    補足日時：2016/02/09 20:39

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/02/10 09:37

私なりに説明してみます。

電源の電圧を v(t)=Vm・sin(ωt+α)
電源の電流を i(t)=Im・sin(ωt+β)

とします。瞬時電力は p(t) = v(t)i(t)=VmImsin(ωt+α)sin(ωt+β)

です。これを三角関数の和積の公式で変形すると

p(t) = (1/2)VmIm・{cos(2ωt+α+β) + cos(α-β)}

p(t)の平均値は

p(t)の平均 = (1/T)⌠[0→T]p(t)dt = (1/2)VmIm・cos(α-β)

この 1/2 を半分づつ(1/√2づつ)電圧と電流の最大値に分配し、絶対値としたのが
フェーザ表示での

|V| = Ve = Vm/√2
|I| = Ie = Im/√2

電圧と電流のフェーザ表示 V, I は

V = (Vm/√2)(cosα + jsinα)=Ve(cosα + jsinα)
I = (Im/√2)(cosβ + jsinβ)= Ie(cosβ + jsinβ)

となります。で、こうするとうまくゆくかと」いうと、
直流の電力の公式に倣って形式的に計算すると

P = VI = VeIe・cos(α+β) + jVeIe・sin(α+β)

となって、どこにも VeIe・cos(α-β)が出てきてくれません。
もう一工夫必要で、式をちょっと変えて、複素共役を使って

P=V・Iバー(Iの複素共役) = VeIe・cos(α-β) + jVeIe・sin(α-β)

となってうまくゆきます。
これが複素電力で、実部が平均電力になります。

実部は有効電力、虚部は無効電力、VeIe(複素電力の絶対値)は
皮相電力などと呼ぶことがあります。

Ve=Vm, Ie=Im/2 でもよいのでは？　と思うかもしれませんが、そうすると
例えば 抵抗に電圧 V をかけると、

Ｉ = (1/2)V/R

となって、オームの法則が直流とフェーザ表示で変わってしまいます。
なので、電圧と電流で同じ比率で値を変更しているのです。

No.6 回答者： MS1 回答日時： 2016/02/10 04:48

確か、統計でいうところの標準偏差だったと思います。

No.5 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/02/09 23:50

１／Ｔはルートの中か外か、ということですね。

瞬時電圧をｅとすると瞬時電力ｐは、
　　　ｐ＝ｅ＾２／Ｒ　・・・①

このｐを０～ｔの区間で積分するとエネルギー（ジュール単位）になります。
　　　ε＝∫［０，Ｔ］ｅ＾２／Ｒ　ｄｔ　・・・②

エネルギーを区間時間ｔで割ればこの区間における平均電力（ワット単位）になります。
　　　Ｐ＝（１／Ｔ）＊∫［０，Ｔ］ｅ＾２／Ｒ　ｄｔ　・・・③

この電圧の実効値をＥで表すと　Ｐ＝Ｅ＾２／Ｒ　・・・④　　です。
③のＰと④のＰは同じ値ですから、③＝④　と置いて、
　　　Ｅ＾２／Ｒ＝（１／Ｔ）＊∫［０，Ｔ］ｅ＾２／Ｒ　ｄｔ　・・・⑤

Ｒを消去して平方根をとるとＥが求まります。
その結果　１／Ｔ　はルートの中に残ります。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/09 23:03

No.2です。

「補足」に書かれたことについて。

＞交流電源のR回路における電力の時間平均

実際にやってみればよいのです。
　V=V0sin(ωt)
　I=I0sin(ωt)
として、
　P = VI = V0*I0*sin^2(ωt)
　　= (V0*I0/2)*( 1 - cos(2ωt) )　　←半角・倍角の公式
これが常に ≧0 であることは分かりますね？　つまり、そのままで平均値がとれます。

電力の時間平均を取れば
　Pbar = (1/T)∫(0~T)Pdt = (V0*I0/2T)∫(0~T)( 1 - cos(2ωt) )dt
　= (V0*I0/2T) [ t + (1/2ω)sin(2ωt) ](0~T)
　= V0*I0/2

従って、
　（電力の時間平均）＝（電圧の実効値）×（電流の実効値）
とするには、
　　（電圧の実効値）= V0 / √2　　←(電力の時間平均) の平方根に比例
　　（電流の実効値）= I0 / √2　　←(電力の時間平均) の平方根に比例
とすればよいことが分かります。

　電圧、電流の実効値を「二乗和の平方根の時間平均」とすると、(電力の積分値) / (時間)^2 となって、「電力の時間平均」ではなくなります。
　このために、(電力の時間平均) の平方根に比例するよう、「二乗和の時間平均の平方根」にしているのです。

　No.2のリンク先にもあるように、そのまま平均すると「ゼロ」になってしまう「電圧」「電流」の「代表値」をどのように決めるか、というときに、「かけ合わせると電力の「平均値」に一致するように決めた」ということです。一種の「規格化」です。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/kouryuu/j …

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/09 20:59

積分にマイナスがあると相殺されるから2乗している。

2乗積分はあくまで2乗であるため、平方根をとって平均化している。
区間で割れば、時間当たりの値が出てくるので、代数として表せる実効値として使っている。

あなたの質問に答えるには「時間、振幅」を「複素ベクトルの長さと位相」に書き直し、射影をとって逆変換をしているという事実を知らないと難しい話です。

波を表すには必ずP=V^2/R=RI^2と、電力では2乗が現れます。
これを電圧ないしは電流を平均化すると平方根を取り、積分区間で割る必要があるのです。

デシベル表記でも、10log(Po/Pi)=20log(Vo/Vi)=20log(Io/Ii)のように、電力ベースで考えるのが一般的です。
全てをエネルギーとして考えることが背景にあります。

この回答へのお礼

もう少しわかり易く、Ve　はなぜ、「二乗和の時間平均の平方根」で求める事が出来るのでしょうか？

お礼日時：2016/02/09 22:27

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/09 19:05

No.1 です。

少し乱暴な回答になってしまったので、少し補足します。

No.1に書いたように、
　電圧 V
に対して、インピーダンス Z があれば、その電流は
　I = V/Z
です。

従って、電力は
　P = I*V = V^2/Z
です。

お示しの「電圧の実効値」を求める式は、実は「電力」の平均値と一致するように「電圧」の実効値を定めるということです。
これは、電力が
　P = I^2*Z
とも表わせるので、「電流の実効値」を求めるときにも全く同じです。

下記のNo.1の回答で「位相の異なった「電圧」と「電流」であっても、「電力」をその積で表わせるようにする」というのも同じ意味です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/09 18:26

実効値は、下記のあなたの質問への回答に書いたとおり、位相の異なった「電圧」と「電流」であっても、「電力」をその積で表わせるようにするためのものです。

　　P = VI
　これと、インピーダンスのフェーザ表示を使えば、直流の「オームの法則」に相当する
　　V = IZ
と併せ、交流も直流と同じように「簡便に」に扱えるようになります。

↓　前のご質問
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9167381.html

上の回答にも書きましたが、この中の「高校生向け」サイトが分かりやすいので、じっくり読んでください。同じ質問を何度もしないように。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/kouryuu/j …