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OA=OB=OC=4,AB=BC=CA=2である四面体OABCにおいて辺OAの中点をMとする。
次の各問題に答えよ。
(1)△MBCの面積を求めよ。
(2)頂点Oから底面ABCに下した垂線をOGとしたとき、OGの長さを求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。
(4)頂点Oから平面MBCに下した垂線をOHとしたとき、OHの長さを求めよ。

という問題が全くわからないです…。
情けないのですが、どうやって解くのか、また、答えを教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

(1) △OABで、余弦定理より


cos∠OAB=(4^2+2^2-4^2)/2•4•2
=(16+4-16)/16
=4/16
=1/4
△MABで、余弦定理より
MB^2=2^2+2^2-2•2•2•cos∠OAB
=4+4-2•2•2•(1/4)
=4+4-2
=6
MB>0 より
MB=√6

△OACで、同様にして
MC=√6

△MBCは、MB=MC の二等辺三角形だから、
BCの中点をNとすると
BN=1
△MBNで、三平方の定理より
MB=√{(√6)^2-1^2}=√(6-1)=√5

したがって、
△MBC=(1/2)•2•√5=√5

(2) △ABCは、正三角形で、OA=OB=OC=4 だから、
Oから底面ABCに引いた垂線の足Gは、
△ABCの外心である。
したがって、△ABCで、正弦定理より
2AG=2/sin60º
AG=1/(√3/2)=2/√3

△OAGで、三平方の定理より
OG=√{4^2-(2/√3)^2}
=√{16-(4/3)}=√(44/3)=(2√11)/√3=(2√33)/3

(3) 四面体OABC=(1/3)•{(1/2)•2•2•sin60º}•{(2√11)/√3}
=(1/3)•(1/2)•2•2•(√3/2)•{(2√11)/√3}
=(2√11)/3

(4) Oから平面MBCに引いた垂線をOH、
Aから平面MBCに引いた垂線をAI とすると
△OMHと△AMIで、
∠OHM=∠AIM=90º
OM=AM
∠OMH=∠AMI (対頂角)
直角三角形の斜辺と1つの内角がそれぞれ等しいから、
△OMH≡△AMI
よって、
OH=AI
これより、
四面体OABC=四面体OMBC+四面体AMBC
=(1/3)•△MBC•OH+(1/3)•△MBC•AI
=2•(1/3)•△MBC•OH
=2•(1/3)•√5•OH
={(2√5)/3}OH
したがって、
{(2√5)/3}OH=(2√11)/3
OH=√11/√5=(√55)/5
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底辺ABの△AOBの高さは


√(4^2-1)=√15
△AMBの高さはMが辺OAの中点であるので (√15)/2
Mから底辺ABへの垂線を降ろしてPとすると、
辺ABはAP:PBが1/2:3/2で分割される。
従ってMBの長さはLは
L^2=(√15/2)^2+(3/2)^2=24/4=6
L=√6

①△MBCの高さhは、h^2=(√6)^2-1
h=√5
△MBC面積は 2×√5/2=√5

OA=OB=OC=4からGは底面の正△ABCの重心上にある。
②(OG)^2=4^2-(√3/2)^2=16-3/4=55/4
(OG)=(√55)/2

③三角錐の体積は底面積×高さ×1/3
体積=2×√3/2×(√55)/2×1/3=(√165)/3

④はちょっと判らない。
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