50%の確率のコイン投げを延々と続けた場合に

勝敗が50%ちょうどになる確率がもっとも低くて、実際は片方が勝ち続けたりもう一方が負け続けたりするという話がありますよね。
その理屈を教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#108554 回答日時： 2004/07/14 10:04

>「各時点での値が独立でなく差分が独立なのでこういう現象が起きます」

>という意味がよくわかりませんでした。

仮に、今、注目しているのが累積量(トータルの勝数-負け数)でなくて、
今、まさに勝ったかどうかを±1で表現したものを
時間軸上に並べたとします。
これなら各時刻独立なので、どちらかに偏ることはありません。(当り前ですが)

しかし、今見ているのは、累積量なので
いったん0から離れてしまったらなかなか戻ってこれないのです。
実際、0に戻って来る回数の期待値は、
実験総数を増やしても比例しません。(1/2乗ぐらい?)
sinカーブのよう行ったら戻って来る様な振舞はしません。

一方、1次元の場合、有限時間で必ず原点に戻ってくる確率は1です。
このへんの振舞はランダムウォークの面白いところです。

No.7 回答者： hiro1122 回答日時： 2004/07/14 20:56

横から失礼します。

例えば、２回しか勝負をしないと、１勝１敗の確率は二分の一になります。
４回勝負をした場合、２勝２敗の確率は
4C2×(1/2)^4＝3/8
６回勝負をした場合、３勝３敗の確率は、
6C3×(1/2)^6＝5/16
となって、二分の一よりも小さくなります。試合数を増やせば増やすほど、勝敗が等しくなる確率は低くなっていきます。
つまり、勝敗が５０％でない確率の方が、勝敗が５０％になる確率よりも大きくなるというわけです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
これはわかりやすい！
参考になりました。

お礼日時：2004/07/14 22:10

No.5 回答者： noname#108554 回答日時： 2004/07/14 02:09

私にはどう見ても参考URLの

４）格子上のランダムウォーク（乱歩）
・・・右，左へ進む確率はそれぞれ１／２ですから，原点の近くをウロウロし，右，左の領域に半分ずつ存在したと予測するのが常識的ですが，この常識は破られます．結論を先にいうと，実際にはどちらか片方にばかりにいる確率が大というのがこの法則なのです．
・・・中略・・・
技量伯仲の２人が何回も勝負をするとき，勝ち負けの回数はほぼ同じであっても，勝負の累積点数は一方的なリードが続き，極端にかたよる場合が多いこと，すなわち，「運」なり「つき」なりの確率論的基礎にあたると考えているひともいます．・・・

という話を指していると思うのですが、違うのでしょうか?
これの理屈と言われても「計算したらそうなった。」
としか言えない気がしますが。

こんな説明でどうでしょうか?
確率1/2で勝負が決まるとして、独立な勝負をN回する。
W=勝った回数
L=負けた回数
大数の法則から言えるのは、W/L→1(N→∞)
しかし、|W-L|→0(N→∞)は言えない。
なぜなら、ランダムウォークでは、
|W-L|=O(√N)が成り立つので、
Nが大きいと、0に収束しにくくなってしまう。

ランダムウォークは、各時点での値が独立でなく
差分が独立なのでこういう現象が起きます。

参考URL：http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koram …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
たぶんこれです。
「各時点での値が独立でなく差分が独立なのでこういう現象が起きます」
という意味がよくわかりませんでした。
前提が違うということですよね。
ちょっと補足していただけると嬉しいです。

お礼日時：2004/07/14 08:00

No.4 回答者： noname#119356 回答日時： 2004/07/14 01:00

とてもいい質問だと思います。

確率は５０％のはずなのに、現実の世界だと決してそういう風に映らない。そういうことってありますね。運だとか、コインにイカサマがあるだとか、いろいろ理由は言われます。

この乖離の影には、信頼度というのが関わってきます。

コイン投げでは、50%という確率がすでに分ってしまってるので、案外説明がむずかしい。そこで、まず確率がわからない事象を例に考えたいと思います。

日本人の血液がAB型の人の割合（確率）を考えてみましょう。
赤ちゃんからお年寄りまで、男女関係なく、全員のなかで何%の人がAB型なのか、という問題です。

ちゃんとした○%という確率は存在するはずでよね。1億人2千万人のみんなに電話で聞くわけにもいきません。

そこで、あなたは、あなたの地元の市の、中学校1年生の各クラスのAB型の確率を各学校の保健室に問い合わせて聞いてみたところ、10%だとわかりました。
次に2年生のクラスをしらべたら、11%でした。
隣の市の1年生は、8%でした。
さらに、遠くはなれた従兄弟に、同じ調査をしてもらいましょう。
彼の結果は、6%と、8%と、8%でした。

どうやら、6%から11%のどこかに、収まりそうな具合ですね。
でも、とても全国ベースの目指す「確率（その値はたったの一つ）」とはいえませんね。

ここで、信頼度というのが登場します。
「確率（それが何かは分からないが、たった一つの値）」が、きっと上記のあなたと従兄弟の各調査結果のどれかかではあろうが、それがどれか、はっきりとは分からない。口の悪い人にいわせると、そんな調査は信頼おけん！となるかもしれませんね。でも、まさしくそれこそが、信頼度を言い表しています。
つまり、かりに目指す確率が8%だとしたら、この調査は、50%の信頼度となります。
50%の信頼度というのは確かに低いのですが、調査をもっともっとふやしたら、きっと信頼度はどんどん上がっていくでしょう？

何回も何回も調査をします。その調査ごとにの結果に、目指す本当に値がふくまれる割合が、信頼度です。調査がふえれば増えるほど、信頼度は高くなります。いつかはきっと100%になるでしょうね。

一生死ぬまでコイン投げをするわけにもいかないので、100回投げてどういう結果がでるのかを記録していくというのが、現実的でしょう。何回も何回も100回投げセットを繰り返します。つまり、信頼度を100%に近づけることになります。

たとえば、ある回数を行った時の信頼度が90%だとしましょう。コイン投げの確率は50%ですが、50% X（100%-90%) = 5%で、「50%の確率は確かなんだけど、5%の誤差がでること」読めます。45%だったり、55%になるってことは、十分にありえます。
でも、何回も何回もやって、信頼度をあげていったらいつか、50%というたった一つの値にいきつきます。

No.3 回答者： postro 回答日時： 2004/07/13 23:20

勝敗が50%ちょうどになる確率がもっとも低いとおっしゃる真意がわかりませんが、それはちょっと違うんじゃないでしょうか。

１００万回試行して５０万回表と５０万１回表の確率は５０万の方が確率は高いですよ。
１．表と裏の出現が同様に確からい。
２、次回どちらが出るか予想できない。
という二つのことが考える上でのキーワードになると思います。
どちらか一方が勝ち続けるのが不自然なのと同様に、勝ち負けが交互におこり続けるのも不自然なのです。
（どちらも次を予想できてしまうから不自然なのです）

No.2 回答者： makochi 回答日時： 2004/07/13 21:41

確率ですから、無限に続けていけば５０％に近づいていくというだけですし、５０％ちょうどにはそもそもならないんじゃないでしょうか。

実際に人がコインを投げた場合に偏りがでるというのには、単に裏表が出るというだけでなく、投げる人の心理状態や投げる動作のクセ、地面の状態など様々な要因が加わるのは仕方ないことです。

又、片方が出続けたからといって、それは延々とコイン投げをし続ける際のごくわずかな部分でしかないのですから、５０％の確率を揺るがすような事態ではないと思います。

No.1 回答者： gutugutu 回答日時： 2004/07/13 21:23

一方が勝ち続けた分もう片方が負け続けないと５０％にならないでしょう。