カントール集合が連続体濃度を持つことについて

カントール集合はその要素が、m/3^ｎの形で表せるのだからどう考えても有理数であり、連続体濃度を持つとは考えにくいのですが。

質問者からの補足コメント

• 

  疑問点が明確化してきたので改めて提示します。
  
  １、真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは3の累乗を分母に持つ有理数の集合では無いのか？
  ２、無限小数のそれも進数表示の違うものを置換できるのか？
  
  １の方が重要です。いい例えを思いつきました。0から1の間を十分割して打点をする。その間を更に十分割して打点をする。この作業を無限に繰り返す。こうして出来た点の集合は、小数点以下が0から9までのすべての数字を取りうる10進無限小数表示として表せる。これは、あらゆる無限小数を表示することが可能なのだから、√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる。なのでこの集合は無理数も含めた実数全体（0から1の間の）とみなせる。どうでしょうか。この詭弁と今までの話の根本的な相違点はどこでしょうか？
  ２は・・・文字数が足りない。今までのコメをご参照下さい。でも１の方が優先です。おねがいします。

    補足日時：2016/05/20 07:47

• No.10により、0と2だけの３進無限小数はm/3^ｎではすべてを表せないということはよく分かりました。ただ「とりあえず「真ん中1/3を抜き去るという作業で残る」のが, 「3進法で書いたときに 0 と 2 しか現れない数」であることはよいでしょうか? 」ここです。あまりよくないです。補足1の疑問点1で示した詭弁もそうなんですが、私の中には有理数＝分割して得られる数、無理数＝分割では得られない数というイメージがあります。しかしこれが間違いで、私が例として出した詭弁の集合もカントール集合と同じく無理数を含んでいるということなのでしょうか？（つまり詭弁ではない？）上の疑問点1を書き換えます。１´、真ん中1/3を抜き去るという作業で残るのは0と2だけの３進無限小数で本当に良いのか？私の出した詭弁は詭弁ではないのか？分割で無理数が得られるのか？

    補足日時：2016/05/21 10:36

• すみません。詭弁の√2＝0.141421356・・・は√2/10＝0.141421356・・・として下さい。

    補足日時：2016/05/21 10:55

• あらたな疑問点では無く、ここで改めて自分なりにカントール集合を表現してみようと思います。
  
  　カントール集合： 閉区間 [0, 1] の線分に対して、ある操作を無限に繰り返して作られる集合。その操作とは「線分を3等分した真ん中を開区間で抜き取る」。 n回目操作後の集合を Cn とすると以下のようになる。
  
  C0 = [0, 1]
  C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 3/3]
  C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 9/9]
  C3 = [0, 1/27] ∪ [2/27, 3/27] ∪ [6/27, 7/27] ∪ [8/27, 9/27] ∪
  　　 [18/27, 19/27] ∪ [20/27, 21/27] ∪ [24/27, 25/27] ∪ [26/27, 27/27]
  …………
  
  ≪ 続く ≫

    補足日時：2016/05/28 16:01

• ≪ 続き ≫
  また、n回目操作後に集合の要素として決定したものを、10進法と3進法で表すと以下のようになる。
  
  C0　0 = 0
  　　1 = 0.22222222……
  C1　1/3 = 0.02222222……
  　　2/3 = 0.2
  C2　1/9 = 0.00222222……
  　　2/9 = 0.02
  　　7/9 = 0.20222222……
  　　8/9 = 0.22
  C3　1/27 = 0.00022222……
  　　2/27 = 0.002
  　　7/27 = 0.02022222……
  　　8/27 = 0.022
  　　19/27 = 0.20022222……
  　　20/27 = 0.202
  　　25/27 = 0.22022222……
  　　26/27 = 0.222
  …………

    補足日時：2016/05/28 16:15

No.19 回答者： uyama33 回答日時： 2016/05/24 07:22

カントール集合（カントールしゅうごう、Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。

となっているので、

3進数での表現で
0.1＝0.02222222...
と書けるので、
三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの
の条件を満たします。よって

1/3はカントール集合の要素です。

この回答へのお礼

そうか、そうなんですね。1/3もカントール集合の要素でいいんだ。

お礼日時：2016/05/24 19:37

No.18 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/24 01:43

お礼ありがとうございます。

ちょっと表現がまずかったですね。
実は、0.10.....は、この操作では最後まで残ります。
実を言えば、0.010.....、その他、3進数の桁の中に1が1個しかないものは全て残るんです。（1.0...、0.10....、0.010....、など）
ただし、これは濃度に関しては、実はあまり意味が無い事がわかります。（ベルシュタインの定理から、閉区間と開区間の全単射が成り立つことを利用すれば、それは除去可能と言えます）
カントール集合は、上記の数が残りますが、逆に言えば3進数の小数の桁に0,2しか現れない集合の要素より、常に大きいか等しい事を意味します。（無限集合なので、ベルシュタインの定理から、全単射が可能）
したがって、3進数で、0,2しか桁に現れない小数の、2を1に置き換えて、2進数の0,1しか桁に現れない小数への全単射と同等と考えて良い事になります。
これも、質問の本質には答えていませんね。（ただし、公理系は逸脱していないはずです）

この回答へのお礼

＞カントール集合は、上記の数が残りますが、逆に言えば3進数の小数の桁に0,2しか現れない集合の要素より、常に大きいか等しい事を意味します。（無限集合なので、ベルシュタインの定理から、全単射が可能）
＞したがって、3進数で、0,2しか桁に現れない小数の、2を1に置き換えて、2進数の0,1しか桁に現れない小数への全単射と同等と考えて良い事になります。
なるほど・・・・・・そうなんですね。単射、全単射か・・・。

お礼日時：2016/05/24 19:28

No.17 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/23 23:58

え? 「1/2 は得られない」でいいの?

「有理数＝分割して得られる数、無理数＝分割では得られない数というイメージ」があるんでしょ? だったら, 「分割で得られない」 1/2 は, あなたの中では無理数だっていうことだよね? それでいいの?

あと, #7 に書いておいたはずの
0以上 1以下の実数を
0.なんとかかんとか
という形で 2進小数表示した (1 は 0.111... と表すことにする) とき, これと
全てが 0 または 1 であるような無限数列 { a_n }
とが 1対1 に対応することは分かりますか?
に対して何も反応がないんだから, ここは大丈夫だと認識するね. その上で, 「0.999…＝1.000…問題」の何が疑問なんですか?

この回答へのお礼

すみません。もうちょっとついていけません。

お礼日時：2016/05/24 11:52

No.16 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/23 01:24

お礼ありがとうございます。

あくまで、公理系の範囲の質問と言う事であれば、カントール集合が、その操作によって、３進数の小数表現で、その桁の中に、１が現れるすべての小数が取り除けることがわかれば良いんですよね？
それならば、最初の操作で、0.1.....の全ての小数が取り除かれます、2回目で0.01.....の全ての小数が取り除かれます。
以下同様に、次の桁に1が現れる小数が除かれますから、この操作を無限に繰り返すと、残った小数はその桁に0と2しかない小数だけになります。（3進数が表す小数の中から、その桁に1を含む小数が全て除かれます）
後は、その桁の2を1に変えれば、それは[0,1]の区間の実数の2進数表示と同じになるはずですね。
つまり、この操作で得られるのは連続体濃度を持つ集合となります。
これが成り立たないと考えるには、[0,1]の区間の実数の2進数表示が連続体濃度を持たない事を証明しなければいけません。
ただ、この説明では、質問の本当の回答にならないんじゃないですか？
ただ、公理系は逸脱していないと思いますよ。

この回答へのお礼

いえ！こういう具体的な説明を欲していました！ありがとうございます。大分、無理数を含んでいそうだなというイメージが掴めてきました。
ただwikipediaの説明だと、取り除かれる線分は開区間であり、常に閉区間が残されるということだそうですが（ここらへんがデデキントの切断ということでしょうか）最初の操作で残るのは[0,1/3]∪[2/3,1]であり、1/3は含まれている…んですよね？「最初の操作で、0.1.....の全ての小数が取り除かれます」ここはどうなるのでしょう？
というか、有限回の操作では常に1/3の存在は認めなければならないですが、無限に繰り返した極限では存在しなくなる。ここが一つミソであるような気がしています。

「後は、その桁の2を1に変えれば、それは[0,1]の区間の実数の2進数表示と同じになるはずですね。」ここなんですよね、俄には信じがたい。上が疑問点１だとするとこれは疑問点２。やはりそれは、無限小数表示の一意性に対する不信感つまり0.999…＝1.000…問題なんです。公理系内部の運用として、この脆弱な表示体系でどこまでの事ができるのか言えるのか。ということの検討、批判がカントール集合に加えられ鍛えられた経緯等は無いのか？具体的に発表当時ここの部分に対してこのような反論があり、こう退けられた等…が知りたいです。

お礼日時：2016/05/23 22:40

No.15 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/22 23:53

えぇっと....

「真ん中1/3を無限回抜き去って得られる」の「得られる」がどのような意味なのか, やっぱりわからんなぁ.... 例えば 1/2 は最初の段階で「抜き去って」しまうわけだが, それでも「得られる」のか?

この回答へのお礼

「得られない」でいいですよ。「真ん中1/3を無限回抜き去って得られる」はただ単にカントール集合の定義そのものでいいので言い回しはどうでもいいです。厳密に言い直すならwikipediaの「線分を3等分し、得られた3つの線分の真ん中のものを取り除くという操作を、再帰的に繰り返すことで作られる集合」で良いです。この場合なら「ｎ等分して”得られる”は問題なら……示される？関連付けられる？分かりませんが、そうしてできた集合は有理数だという先入観が私にはあったということですね。等分って言ってんだから有理数っしょっていう」

お礼日時：2016/05/23 21:55

No.14 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/22 11:15

お礼ありがとうございます。

カントール集合では、有理数で指定された区間を抜き取っているので、残る部分にも、取り去る部分にも必ず無理数を含む事は理解できますか？
つまり、この操作を繰り返していって、仮にその行為の回数が存在するならば、加算無限にはならないと言う事です。（この行為の回数と有理数の濃度は一致しないと言う事です）
実は、お礼の中に書かれている、「この世の全ての数」と言う言葉を使ったら、これはラッセルのパラドックスになります。
ですから、お考えになっている事が、数学で定義されている公理系と一致していないんですよ。
つまり、質問自体が数学のカテゴリーを超えてしまっています。
これは、数学で考える（数学の公理系で定義される）「数」が、この世の全ての数を表すと考えているから生ずる、「哲学的」な疑問なんです。
残念ながら、これを現在の「数学」で説明する事は不可能です。
言える事は、これを認めるのが、現在の数学の公理系だと言う事です。（ラッセルのパラドックスが生じないように公理系を定めています）
多分、「数学」で説明しても、質問の主旨の回答は得られないでしょう。

この回答へのお礼

ああ、いえいえご丁寧にどうも。

＞カントール集合では、有理数で指定された区間を抜き取っているので、残る部分にも、取り去る部分にも必ず無理数を含む事は理解できますか？
＞つまり、この操作を繰り返していって、仮にその行為の回数が存在するならば、加算無限にはならないと言う事です。（この行為の回数と有理数の濃度は一致しないと言う事です）
つまり、「十分割を無限回繰り返して得られる」と「真ん中1/3を無限回抜き去って得られる」では、いきなり点を数え上げていって点の集合を作るのと数直線を掠め取っていって点の集合を作る違いがあるゆえに、出来上がる集合が無理数を含まないものと含むものになるということでしょうか。

＞ですから、お考えになっている事が、数学で定義されている公理系と一致していないんですよ。
＞つまり、質問自体が数学のカテゴリーを超えてしまっています。
あ、いえそうでしょうか…。この世の全ての数というのはただの言葉の綾です。これは無限の点を内包する長さが０の数直線（この時点でまず相当不思議）と長さが無限の数直線に１対１対応がつくのは不思議だなぁというただの感想で、このスレッドの趣旨とは関係ありませんよ (;^_^)

＞多分、「数学」で説明しても、質問の主旨の回答は得られないでしょう。
いえいえ、私はそこまで壮大なものは求めていませんよ。…その筈。もっとこう…その公理系内部のルールとしてその運用で良いのか？と。結論が摩訶不思議な物になるのは構わないんですが、そこに辿り着くまでに論理の飛躍がないかということですかね…。

お礼日時：2016/05/22 18:03

No.13 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/22 01:09

「分割で無理数が得られるのか？」だけど, そもそもあなたのいう「分割」とやらがなんなのか, さっぱりわからない.

有理数とか無理数とかの話で「分割」と聞くとついつい「デデキント」って思っちゃうんだけど, それじゃないんだよね? であれば, 少なくとも
・あなたのいう「分割」とやらがどのようなものなのか
・その「分割」で「得られる」とか「得られない」というのはどのように判定するのか
をきちんと定義してください.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。「分割で得る」は「真ん中1/3を無限回抜き去って得られる」「十分割を無限回繰り返して得られる」(後者は無くてもいいです)という意味、定義です。だからカントール集合の定義の事です。

お礼日時：2016/05/22 05:03

No.12 回答者： funoe 回答日時： 2016/05/21 21:32

＞。

0から1の間を十分割して打点をする。その間を更に十分割して打点をする。この作業を無限に繰り返す。
＞こうして出来た点の集合は、小数点以下が0から9までのすべての数字を取りうる10進無限小数表示として表せる。
＞これは、あらゆる無限小数を表示することが可能なのだから、√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる。


これが間違っています。

0.1は1回目の操作で出現します。
0.25は2回目の操作で出現します。
0.335は3回目の操作で出現します。
では1/3＝0.333・・・は何回目の操作で出現しますか？
では√２/10＝0.141421356・・・は何回目の操作で出現しますか？

「いつか出現する」ということは、「具体的に何回目かには出現する」（何回目に出現するかが確定している）ということであって、「無限回くりかえせばいつかはきっと出現するハズ」という希望的予測だけではダメなんです。
上記の２つの無限小数については「一生、出現しない（表せない）」のです。

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あなたの意見を聞いて、有名な、次の間違った理論を思い出しました。

すべての0~１の実数について、その小数表記を逆順に自然数に対応させる。
ex　0.1→1
ex　0.12345→54321
ex　0.123456789→987654321
すべての小数に10進小数表記があるから、区間(0,1)の、どの小数も自然数に対応する。
したがって区間(0,1)の実数は自然数を1対１に対応し加算濃度を持つ

この回答へのお礼

丁寧なご解説ありがとうございます。詭弁として提出したわけで、私もまったくその通りだと思います。
ただ、ではこの例とカントール集合の場合の違いとはいったい何なのか？そこが一番知りたいところです。

お礼日時：2016/05/22 04:34

No.11 回答者： lupan344 回答日時： 2016/05/21 15:47

m/3^ｎってのは、要素が入る区間であって、要素そのものじゃないですよね？

逆に、その区間に無理数の存在が0ってのは、証明できないんじゃないでしょうか？
要素と区間を混同していないですか？
感覚的に、一部を取り去っているのに、連続体濃度を持つのは、不思議に感じるのはわかりますけどね。
詭弁というより、数をそのように定義したと考えるしかないんじゃないでしょうか？
つまり、これはカントールの集合論という限定した状況でしか成り立たない理論だと言う事です。
「賢明な諦め」とは、そのような公理体系を作ると言う事です。（数学は、あくまで、その公理体系での問題を扱うと言う事です）
もちろん、これよりもっと良い無限の取り扱いが出来るのであれば、そういう公理体系を考えれば良いだけですけどね。

この回答へのお礼

ええと、区間というのは一般的には開区間とか閉区間とか２点を表して定義しますよね？
m/3^ｎ（ｍ、ｎは整数）では集合の要素の定義を満たさない？

＞感覚的に、一部を取り去っているのに、連続体濃度を持つのは、不思議に感じるのはわかりますけどね。
カントール集合は2/3倍し続けた極限なので長さが（厳密にはルベーグ測度なのでしょうか）0なわけですよね。
それがこの世の全ての点（実数）と１対１対応がつくというのが、もはやなんとも。仏教の空即是色を思い出します。

お礼日時：2016/05/22 04:57

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/20 13:33

とりあえず「真ん中1/3を抜き去るという作業で残る」のが, 「3進法で書いたときに 0 と 2 しか現れない数」であることはよいでしょうか? (ここがダメだと話が進まないともいう)

その上で
・1/4 を 3進法で書いてみてください.
・1/4 を「3の累乗を分母に持つ有理数」で書けますか?

あと「√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる」ってどういう意味だろうか.

この回答へのお礼

＞あと「√2＝0.141421356・・・ももちろん表せる」ってどういう意味だろうか.
たくさんご回答していただいていて大変心苦しいのですが、私のコメントを精読した上でお答えください。
私が例として出した詭弁の内容にこのように引っかかられても……。

何故、1/4 を 3進法で書かなければいけないのか知りませんが…。無限小数表示なら表せるが、分数表示では無理だということがおっしゃりたいんでしょうか？もし、表わせたとして0.0abcd……が、a/9+b/27+c/81+d/243+……に対応するだけじゃないでしょうか？
あと、少なくともカントール集合は真ん中抜き去ってんだから、1/2は含まれてませんよね。カントール集合の３進無限小数表示が区間 [0, 1] のすべての点を表せる訳ではないというのは大丈夫ですよね？

ps. 計算が終わりました。1/4は3進法では0.02020202……です。この循環小数を分数の形であらわすなら、3進法の202/2222です。10進法では1/4なので、m/3^ｎの形では表せないのでしょう。

お礼日時：2016/05/20 17:10