図1に示すように水平に固定された内径 R の円筒内面を,半径 r,質量 m の円板が内 面に沿ってすべることなく運動する。円板の質量中心の最下点での速さを V として, 以下の問いに答えよ。ただし,重力加速度の大きさを g とする。
1) 円板の回転軸まわりの慣性モーメントを求めよ。
(2) 最上点で円板が落下しないための,最上点での円板の質量中心の速さ v の条件を
求めよ。
(3) 上記(2)の場合の円板の最上点と最下点での力学的エネルギーを式で表し,両者の
関係を示せ。
(4) 最上点で円板が落下しないための,最下点での円板の速さ V の条件を求めよ。
(5) 最下点での速さ V が(4)の条件を満たさずに,円板が最上点に到達する前に内面
から離れる場合を考える。内面から円板が離れるときの図2に示す最下点からの 角度θを求めよ。さらに,この状況を生じる最下点での速さ V の範囲を示せ。
1~4は大丈夫ですが、5はちょっとわかりません。
5の場合は反力N≠0で、内面から円板が離れます。でもθはどうやって表したほうがいいですか?
式なかなか出ません。
以上、お願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
★ご質問の項がどの項かわかりませんので、全部書くと、
(1/2)mV^2+(1/2)*I*0^2+mg(R-r)*0=(1/2)mv^2+(1/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)
左辺は、最下点でのエネルギーの和で、
・円板重心の並進運動エネルギー・・・(1/2)mV^2
・円板の初期角速度は0とすると回転運動のエネルギー・・・(1/2)*I*0^2
(Iは慣性モーメント(1/2)mr^2)
・最下点での円板の重心(高さr)を位置エネルギーの基準として・・・mg(R-r)*0
右辺は、角度θでのエネルギーの和で、
・第1項:円板重心の運動エネルギー・・・(1/2)mv^2
・第2項:円板重心周りの回転運動のエネルギー・・・(1/2)*I*ω^2(ωは角速度)
ですが、(1/2)I*v^2 になると思います。
・第3項:円板重心の高さは(R-r)(1-cosθ)で、位置エネルギー・・・mg(R-r)(1-cosθ)
★垂直抗力Nは、接触力ですので、負にはなりません。
・接触している場合:N>0・・・設問(2)(4)で使います。
・離れた場合:N=0・・・設問(5)で使います。
No.1
- 回答日時:
円板の円運動の運動方程式:
N-mgcosθ=mv^2/(R-r)
内面から離れた時、N=0とすると、
mv^2/(R-r)=-mgcosθ ・・・(1)
次に、エネルギー保存則:
(1/2)mV^2=(1/2)mv^2+(1/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)
(右辺第1項は、円板の円運動のエネルギー、
第2項は、円板中心周りの回転運動のエネルギーを整理した)
→ (1/2)mV^2=(3/4)mv^2+mg(R-r)(1-cosθ)
(1)より、内面を離れた瞬間には、
(1/2)mV^2=-(3/4)mg(R-r)cosθ+mg(R-r)(1-cosθ)
(1/2)mV^2=mg(R-r){1-(7/4)cosθ}
となり、cosθがVを含む形で求まります。
さらに、(1)でv^2>0となるためには、-cosθ>0
また、円板が頂点まで到達しないならば、0<θ<π
合わせると -1<cosθ<0 なので(θがπ/2からπまで)、
これをVの式に書き換えます。
(急いで書いたので、間違いがあるかも)
ありがとうございました。
すみませんが、二つの質問がありますが、エネルギー保存則で最初のT1は’’1/4mV^2’’ないですか?
それでNはどうな場合に内面から離れますか?
N<0ですか?
ごめなさい、日本語が下手です。大目にみてください。
ありがとうございます。
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