数III 微分 極値をもつときのaのとり得る値の範囲

関数f(x)=1/x-e^(-ax)がx>0において極値をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。」という問題なのですがまずf(x)を微分してf'(x)=-1/x^2+ae^(-ax)になり、
このときa=<0のとき成り立たないのはわかります。 つぎにa>0以上のときのf'(x)の符号変化を調べるのですが、僕はここでf'(x)=(-e^ax+ax^2)/(x^2e^ax)と変形してしまったのですが、これではf'(x)=0となるときのxの値が求められません。解答ではf'(x)=[ax^2e^(-ax)-1]/x^2になっています。なぜ自分の変形が間違っているのかわからないので教えてください。

質問者からの補足コメント

• 僕の質問が悪かったようです。 僕が聞きたかったのは、x^2e^(ax)>0であるから[ax^2-e^(-ax)-1]=0となるxの値を求めようと思ったのですが求められません。 分母はx^2でないとダメなのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/08 06:36

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/08 09:19

f'(x) = -1/x^2 + ae^(-ax)

　　 = -1/x^2 + a/e^(ax)
　　 = [ -e^(ax) + ax^2 ] / [ e^(ax) *x^2 ]

f'(x)=0 となるのは
　　-e^(ax) + ax^2 = 0
→　ax^2 = e^(ax)　　　　①

これは
f'(x) = [ ax^2 *e^(-ax) - 1 ] / x^2
から、f'(x)=0 となるのは
　　ax^2 *e^(-ax) - 1 = 0
→　ax^2 *e^(-ax) = 1
→　ax^2 = e^(ax)　　　　②
としたのと同じですけど？

＞分母はx^2でないとダメなのでしょうか？

上記のように、分母が x^2 であっても e^(ax) *x^2 であっても同じです。
分母が x^2 なら、ｘの値は求められるのですか？

この回答へのお礼

おかげさまで理解できました、ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2016/11/08 12:53

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/08 06:23

f'(x)=-1/x²+ae⁻ª˟　を単純に変形するだけでしょ？ 通分。

=-1/x² + a/eª˟ = -eª˟ / x²eª˟ + ax²/x²eª˟

=(ax²-eª˟)/x²eª˟ 　分母分子をeª˟で割ると

=(ax²･e⁻ª˟ -1 )/x²