環の準同型定理

今、環の準同型定理で詰まっています。
これはどういうことを表しているのですか？
また証明も知りたいです

質問者からの補足コメント

• 環の定義が複数あるとは知りませんでした。すいません。
  定義
  集合Rが環であるとは
  加法と乗法に対して次の性質を満たす集合のこと
  A 加法と乗法について閉じている
  
  B加法についてアーベル群をなす
  
  C乗法について結合則を満たす
  
  D分配法則が成り立つ
  
  次に写像fを可換環（加法と乗法に対して可換な環）RからR’への写像とした時これが準同型写像であるとは任意のx、y∈Rに対して次の性質が成り立つことをいう
  
  E f(xy)=f(x)f(y)
  F f(x+y)=f(x)+f(y)
  G f(1)=1 ただし1は単位元
  
  
  準同型定理
  fを可換環RからR’への準同型写像とする時、
  写像a＋ker f →f（a）により
  R/ker f とf（R）が同型となる
  
  どうもR/ker f のイメージが湧きづらく定理のイメージがつかめません
  
  今、代数的整数論の本を読んでいてでてきました

    補足日時：2016/12/17 22:19

No.8 回答者： hiccup 回答日時： 2016/12/25 08:48

No.7 だけど、数学用語を正しく使っていなかった。

加法群と書いているところ、これは、「加法についての群」であった。
加法群だと R-加群になってしまうようだ。

あと付けで申し訳ない。

読み返して残念な文章なので全部書き直したい・・・できないわけだが。

No.7 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/12/23 20:48

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。

きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f　を示せばよい。
言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f　を示せばよい。
これは　ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b'　と変形すれば示せる。
この乗法は R から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。
また、1+ker f は R/ker f の単位元であることも容易に示せる。

次に、写像 F : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。
これはすでに加法群の同型写像なので、F((a+ker f)(b+ker f))=F(a+ker f)F(b+ker f) 、F(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。


要するに環の準同型定理とは、R/ker f には R から引き継いだ環の代数構造が自然に入って環になり、f(R) もまた R から、折り畳まれながら押し付けられてできた新しい環の構造が R' の中にもともとあった部分環として実現されていて、それらの環の構造はぴったり同じであるということである。
その対応は準同型写像 f から引き起こされる。


【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】

実数体 K 上の多項式環 K[x] において、x で生成される部分環は Z[x]x である。一方、x で生成されるイデアルは K[x]x である。イデアルとは、もとの環の元をその元にかけると自身に吸収してしまう部分環のことである。
加法群の剰余群は加法群であるが、それに乗法が入るかどうかを確かめてみる。
K[x]/Z[x]x においては、1.7x-0.7x , 10x-x∈Z[x]x に対して 1.7x・10x-0.7x・x∈Z[x]x でないので、自然な乗法が入らない。
一方、K[x]/K[x]x においては、p-q , r-s∈K[x]x ならば pr-qs=(p-q)r+q(r-s)∈K[x]x なので K[x] から乗法を引き継ぐ。

これが、ただの部分環とイデアルの違いである。


【数学地方の方言「つぶす」】

数学を勉強していると、「つぶす」という表現に出会うことがある。同値関係で「割る」とか、代数系をそのイデアルで「割る」とかのことである。
同値類や剰余類は集合族であるが、「つぶす」とは、それらの集合を点のように扱うばかりでなく、構造のあるものにはその構造が衝突することなく折り畳まれて構造を再構築するようにうまくやることである。（私たちはこれを、{偶数、奇数} の演算で感覚的に知っている。偶数や奇数を集合のように扱ったり、そうでなかったり）
特に環準同型 f の ker f など、f によって 0 という１点につぶれ、他の剰余類も１点につぶれるので、まさに点と見なせてわかり易い。さらに、環の構造も、形は変われども引き継がれる。
ker f の話が分かりやすければ、イデアルで割る場合も同様である。
なぜなら、R のイデアルを I とするとき、自然な準同型 f : R → R/I に準同型定理を当てはめれば ker f = I となるからである。
イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。

つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。
可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。


===
伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。
さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。

No.6 回答者： uyama33 回答日時： 2016/12/18 17:38

Z:整数の全体

R:｛0,1,2｝個の３個の整数からなる集合に四則演算を、
　　普通に計算した結果をみて、３で割ったときのあまりを考えてその余りを計算の答えとする。
　　たとえば、
　　2+2＝4＝3*1+1　よって４を３で割った余りは１なので
　　2+2＝１　とする。
　　この結果、０が加法単位元、１が乗法単位元で可換な環となる。
　　体というべきだろうがこの際は勘弁してください。
ｆ：Z→R
を次のようにきめる。
ｃ（整数）のとき、f(c)はｃを３で割った余りとする。
すると、
f(5)=2、f(7)=1
f(5+7)=f(12)=0
f(5)+f(7)=2+1=3=0
となって
f(5+7)=f(5)+f(7)
が成立する。
このとき,Zは次の3つのグループに分かれる
{...,-3,0,3,6,...}
{...,-5,-2,1,4､7...}
{...,-4,-1,2,5,...}
最初のグループは、ｆで移すと0になる。
次のグループは、ｆで移すと1になる。
最後のグループは、ｆで移すと2になる。
最初のグループがｆのカーネル。
3つのグループはこのカーネルによる類別（グループ分け）となっている。
したがって、この類を一つの塊と考えて計算を決めてゆくのだが、
各グループから代表を勝手に取って計算した結果、
代表の選び方によらずに結果がきちんと決まることが大切。
たとえば、５は第3のグループに入っていて、７は第2のグループに入っている。
f(5)+f(7)=2+1=3=0
これは、０が第1のグループに入っているので、
第2グループと第3グループの足し算は第1グループになる。
といっているのです。
５や７の代わりに、
-4や-2をとって計算しても第1グループになるというのが
上手く定義されている
という言葉の意味です。

{...,-3,0,3,6,...}　→　0
{...,-5,-2,1,4､7...}　→　1
{...,-4,-1,2,5,...}　→　2
とすれば、グループ（ｆのカーネルによる剰余類）とRの元は上手く対応する。
これは、計算はグループを（０）（１）（２）などで表せば
（１）+（２）＝（０）（剰余類での計算）
1+2＝０　（Rでの計算）
となるので、どちらの計算もほとんど同じ（同型）になる。

疲れたのでこの辺で。

あきらめないで頑張ってください。

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/18 09:29

ANo.4 に対するお礼を読みました.

おそらく, もう少し基本を学んでからでないと, 環の準同型定理を理解するのは難しいでしょう.
代数的整数論を学び始めるのは, 可換環論を十分に勉強した後でも遅くありません.

環と部分環の定義は, もしかしたら理解できているのかもしれません.
けれど, イデアルの定義は, きちんと分かっているのでしょうか.
Ker(f) が R のイデアルになる理由を, 貴方が完全に理解している可能性は, あまり高くないと感じました.
証明を簡略に済ます場合でも, 要点まで省略するのは不適切です.

ある定義が well-defined である, という表現を見聞きしたのは, 今回が初めてでしょうか.
R/Ker(f) のイメージが湧きづらいと仰っていますが, 同値関係の知識はありますか.
商集合, 同値類, 代表元, などが理解できていれば, 写像 g の定義に欠陥が無いかどうか, すぐに調べたくなるはずです.

g が全単射な準同型写像であることを示し, さらに念入りに g の逆写像も準同型写像であることを示せば, 準同型定理の証明は終了です.
ですが, ANo.4 の (1), (2), (3) について, もっと詳しい説明（証明）を書いていただけないと, これ以上は先へ進めません.

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/17 23:27

合同式, ですか.

うーん, 悪くはないのですが...
以後, 乗法の単位元を持つ可換環を, 単に環と呼ぶこととします.

f を環 R から環 R' への準同型写像として, R/Ker(f) から Im(f) = f(R) への写像 g を
g([a]) = f(a), ただし [a] := a + Ker(f), で定義します.
まずは準備として, 以下の (1), (2), (3) を証明できますか.
(1) Ker(f) は R のイデアルになる
(2) Im(f) = f(R) は R' の部分環になる
(3) 写像 g は well-defined である

取りあえずこの部分をクリアしないと, 先に進めないのですが...

この回答へのお礼

（1)f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ab)=f(a)f(b)より示される
（2)まずIm（f）で演算が閉じていることをいう。
（1）と同様に分かる。
加法の単位元はf（0）
乗法の単位元はf（1）
（3）はわかりません

お礼日時：2016/12/18 00:27

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/17 22:46

あっと...

わずか 1 分の差ですが, 入れ違いになってしまいました.
たくさん書かせてしまって, 申し訳ありませんでした.

>次に写像fを可換環（加法と乗法に対して可換な環）RからR’への写像とした時
非可換環であっても, 加法に関しては, 可換であることが要求されます.
よって, 可換環とは「乗法に関して可換」という意味です.

>G f(1)=1 ただし1は単位元
これは, R と R' が乗法の単位元を持つことを前提としているので,
貴方の本でいう可換環とは, 乗法の単位元を持つ可換環と解釈できます.

>どうもR/ker f のイメージが湧きづらく定理のイメージがつかめません
イメージが湧かないのは, R/Ker(f) の場合だけですか.
一般に, 可換環 R とそのイデアル A が与えられたとき, 剰余環 R/A をイメージできますか.

この回答へのお礼

いえいえありがとうございます
R/Aのときは合同式のようなものをイメージしています

お礼日時：2016/12/17 22:54

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/17 22:18

ANo.1 で書いた

> 環の定義と準同型写像の定義を述べてください
についてですが, 全部書くのは大変でしょうから, 2 点だけ明確にしてください.

環の定義では, 乗法に関して, 以下の 4 つのうち, 最低限どれを要求するのか.
半群, モノイド, 可換半群, 可換モノイド

上でモノイドか可換モノイドを選んだ場合,
環 A から環 B への準同型写像 f に, f(1) = 1 であること要求するのかどうか.

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/12/17 20:38

説明すると, 長くなるかもしれません.

少しでも短く済ませるために, まず貴方がどこで詰まっているのかを書いてください.
それと, 最初に環の定義と準同型写像の定義を述べてください（複数の流儀がありますので）.
定理の証明そのものは, とても簡単です.