整数問題（素数）

(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr
を満たす素数p,q,rの組を全て求めよ。

絞り込み方がわかりません。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/01/13 16:49

(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr

両辺をpqrで割ると
(1+1/p)(1+2/q)(1+3/r)=4
1+1/p≦3/2,1+2/q≦２であるから
(3/2)*2*(1+3/r)≧4
3+9/r≧4
r≦9
rは2,3,5,7のいずれか

r=2の場合
5(p+1)(q+2)=8pq
p,qのいずれかは5　あとは簡単

r=3の場合
6(p+1)(q+2)=12pr
(p+1)(q+2)=2pr
左辺を展開し整理すると
pr-2p-r-2=0
(p-1)(r-2)=6 あとはかけて6になる組合せを考えればよいだけ。

r=5の場合
2(p+1)(q+2)=5pq
p,qのいずれかは2

r=7の場合
5(p+1)(q+2)=14pq
p,qのいずれかは5

こんな感じですかね

この回答へのお礼

こちらの方法で解決しました。ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/15 00:52

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/12 23:57

あんまりまじめに考えてないけど.

とりあえず両辺を pqr で割ってやると, p, q, r の範囲の都合から
r は 2, 3, 5, 7 のいずれか
が出てくるような気がする.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/01/15 00:53

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/12 18:36

それぞれ素数なので、右辺を2･2･p･q･rとすると、そのどれかの組み合わせが（p+1）であり（ｑ+2）であり（ｒ+3）です。

右辺の組み合わせは　4p･q･r　p･4q･r　p･q･4r　2p･2q･r　2p･q･2r　p･2q･2r　pq･r･4　pq･2r･2　pr･q･4　pr･2q･2　qr･p･4　qr･2p･2　pqr･2･2　となります
この時左辺の最少はp=2の場合の３となっているので、2が単独になっている物は除外されます。
残るのは　4p･q･r　p･4q･r　p･q･4r　2p･2q･r　2p･q･2r　p･2q･2r　pq･r･4　pr･q･4　qr･p･4　です。

とりあえず4p･q･rについて考えてみましょう。
それぞれが左辺のどれかに対応しているはずですが、4p=p+1,q=q+2,r=r+3でないことはすぐ分かると思います。（p=1/3なら式は成立しますが素数でないので）
他の6通りについて考えてみましょう。
＜4p=q+2＞
　この時左辺は偶数ですが、右辺を偶数にするためにはｑが偶数である必要があり、偶数の素数は２だけです。
　よってq=2となりますが、それだとp=1となってしまう為、これは該当しません。
＜4p=r+3＞
　この時q=q+2ではないので、q=p+1となります。2つ連続している素数は２と３のみです。
　よってｑ＝3、ｐ＝2となります。これによりｒ＝５も求めることができます。

他のパターンも該当する別の組み合わせがあるかもしれないので確かめてみます。
＜q=p+1＞
　これは先ほど同様q=2、p=3となりr=5です。
＜q=r+3＞
　この時4p=p+1ではないので、4p=q+2となります。
　これは先ほど同様偶数の素数は２のみなのでq=2となり、p=1で該当しないとなります。
＜r=ｐ+1＞
　この時q=q+2ではないので、4p=q+2となります。
　同様にq=2、p=1となり該当しません。
＜r=q+2＞
　この時4p=p+1ではないので、q=p+1となります。
　連続する素数なのでq=3、p=2となり、r=5。先ほどと同じです。

これらにより、4p･q･rの場合、p=2､q=3､r=5という組み合わせが成立することが分かりました。

他のパターンでも同様に検討すれば、全てのパターンを求めることができます。
（もっと簡単な方法もあるのかもしれませんが・・・）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/01/15 00:50