数学食塩水濃度の問題教えてください

Question

【問題】濃度５％の食塩水と濃度10％の食塩水を混ぜて、濃度が７％より高く、
かつ８％より低い食塩水を100ｇ作りたい。このとき、濃度５％の食塩水は(　　）混ぜればよい。
　
【答え】40ｇより多く、かつ60ｇより少なく

解答に解説がなく、答えのみ見ても何故その答えになるか
わかりません。
教えてください。よろしくお願いします。

yuji3690 · Accepted Answer

蛇足のコメントしますが、

式を立てるというのは、問題の内容をきちんと把握して式を立てれるか？
という意味で非常に重要です。
何かわかんないけどこうやったら答えが出る。では応用も何もありません。

濃度の差から混ぜる量を求めるのであれば、
直線の式を考えます。
x軸に濃度の高い方の食塩水の割合をとります。
y軸は食塩水の濃度です。
範囲はx軸が0〜100%で考えます。

b%の食塩水の割合が0%なら、混ぜた食塩水の濃度はa%なので、
(0,a)に点をとります。
b%の食塩水の割合が100%なら、混ぜた食塩水の濃度はb%なので、
(100,b)に点をとります。
この2点を結ぶ直線の式は、
y=(b-a)/100*x+aとなります。
c%の食塩水を作るには
c=(b-a)/100*x+a
となるxを求める必要があります。
(c-a)*100/(b-a)=x
ｚグラム作るのであれば、
zx=z(c-a)*100/(b-a)
グラムa%の食塩水が必要となりますね。

この方が分かりやすいというのであれば、これを使って何ら問題ありません。
では、これを使って、a%の食塩水nグラムとb%の食塩水mグラムを混ぜるとどうなるか計算してみましょう。
x=(n+m)(c-a)*100/(b-a)
xを先に表示しないといけませんね。
x=n/(n+m)
ですね。
n/(n+m)=(n+m)(c-a)*100/(b-a)
n(c-a)/(n+m)^2/100+a=c
とc%の濃度の食塩水ができるはずです…
正直言って途中の式は何を計算しているのかぱっと見全然分からないですが…。

応用の効く考え方を覚える、どんな考え方をすれば応用が効く式を立てられるかという事をを考える、というのは問題を解く上で重要だと思います。

ORUKA1951 · Answer

とはいっても解説あるほうがわかりやすいでしょうから。
文章をとにかくよく読むこと。そうすると

「5%の100gの食塩水の一部を10%食塩水に置き換えると、100gあたり5%濃度が高くなる」
とかいてある。5/100(%/g) すなわち、10g入れ替えると、濃度が0.5%増えると言っている。
　濃度が2%増えるなら、2/0.5=40g、濃度が3%増えたなら3/0.5=60g。

なお、連理方程式なら、解説は要らない。なぜなら、連立方程式は文章をそのまま数式に翻訳して、機械的に解くのですから。式ができた時点で質問が理解できていることをしめしている。

sc348253 · Answer

No.5 さん 鶴亀算の応用ですね！私も考えていたので、先を越されました！残念！

ORUKA1951 · Answer

100g全部が5%なら10%食塩水は0、100g全部が10%なら10%食塩水は100g
10%食塩水が、100g増えると、濃度は10-5=5%増える。5/100 = 1/20。
　　言い換えると、10%食塩水が10g増えるごとに、0.5%濃度が増す。
　7%なら、その差は2%なので、2/(1/20) = 40 g
　8%なら、その差は3%なので、3/(1/20) = 60 g

みなさん、こんな問題に連立方程式書いたりしてわざわざ面倒な解き方をしなくても、10%食塩水の量が100gになれば、濃度が5%高くなると書いてあるので、10g増えると0.5%濃度が高くなる。7%、すなわち2%濃度を高くしたければ、2÷0.5=40g、8%、すなわち3%濃度を高くしたければ3÷0.5=60gほど10%食塩水を使えばよい。
　こんなの、方程式いらないでしょう。(解説も^^)

中学校で連立方程式を学ぶと、老人じゃあるまいし、頭が固くなってまともな解き方を忘れてしまう。

yuji3690 · Answer

では、返信にて書かれていた、
濃度の違う食塩水を混ぜて目的の濃度の食塩水を作る式について簡単に説明します。

条件として、a％の食塩水xグラムとそれよりも濃いb%の食塩水yグラムを混ぜてc%(a≦c≦b)の食塩水zグラムを作ります。
cの範囲については分かると思いますが、a未満にするには水を、b以上にするには塩を、直接入れる必要があります。

この問題には6つのアルファベットが出てきていますが、
一般的にはこの内4つの値が与えられていて、残り2つの値を求めるというものになっているはずです。
でないと解けないので。

立てる式は２つ
①食塩水全体の重さについて
a%の食塩水xグラムとb%の食塩水yグラムを混ぜてc％の食塩水zグラムを作るのだから
x+y=z　となります。

②塩の重さについて
a%の食塩水xグラムには、x*a/100グラムの食塩が含まれています。
b%の食塩水yグラムだと、y*b/100グラムです。
c%の食塩水zグラムでは、z*c/100グラムです。
よってx*a+y*b=z*c　となります。(/100は打ち消し合ってます）

これらを連立させると、
①の式をa倍またはb倍もしくはc倍させて②の式を引くことで、
不明な変数の内１つを含む項を消すことができ、
○△＝□☆という形に変形できます。

この内１つが不明な変数なので、それの係数で両辺を割れば、その変数を求めることができます。
○の場合△で割って○＝□☆/△です。

これを①もしくは②の式に代入し、残りの変数も求めることができます。

yhr2 · Answer

「濃度」の問題は、「中に溶けているもの（溶質）」の量と、「溶かしているもの（溶媒。この場合は水）」の量の両方をきちんと押さえないといけません。その上で
　濃度 = (溶質の量) / [ (溶質の量) + (溶媒の量) ]
ということが分かっていれば、すべての問題が解けます。

この問題の場合には、「食塩」と「水」の量をそれぞれ把握するということです。

つまり
100g の濃度５％の食塩水：食塩が 5g、水が 95g
100g の濃度10％の食塩水：食塩が 10g、水が 90g 
というように。

問題の場合には、目的とする食塩水を作るために
・濃度５％の食塩水を x(g)
・濃度10％の食塩水を y(g)
を混合したとすれば
・濃度５％の食塩水：食塩が 0.05x(g)、水が 0.95x(g)
・濃度10％の食塩水：食塩が 0.1y(g)、水が 0.9y(g)
を含んでいることになります。
これで「濃度が７％より高く、かつ８％より低い食塩水を100ｇ」を作ればよいわけです。

濃度７％の食塩水100ｇは「食塩が 7g、水が 93g」ということですから
　0.05x + 0.1y = 7
　0.95x + 0.9y = 93
ということになります。これを解けば
　x = 60(g), y = 40(g)

濃度８％の食塩水100ｇは「食塩が 8g、水が 92g」ということですから
　0.05x + 0.1y = 8
　0.95x + 0.9y = 92
ということになります。これを解けば
　x = 40(g), y = 60(g)

yuji3690 · Answer

2つの濃度の違う食塩水を混ぜて、その間の特定の濃度の食塩水を作るのはできますか？
やり方としては、塩の量と食塩水の量で式を立てて連立方程式として解きます。
分からなければ解説しますが。

今回は7%の食塩水を作る場合と、8%の食塩水を作る場合をそれぞれ求めて、その間の量、と答えれば良いのですよ。

Ku-Mei · Answer

5% の食塩水 x グラム と 7% の食塩水 y グラムを混ぜて、7% から 8% の食塩水100 グラムを作ると考えて、連立不等式を立てればできます。式を立てるところまですれば、後は計算だけですから自分でしてください。
        x + y = 100
       0.07 =< (0.05x + 0.1y)/100 =< 0.08

数学 食塩水濃度の問題教えてください

蛇足のコメントしますが、

とはいっても解説あるほうがわかりやすいでしょうから。

No.5 さん 鶴亀算の応用ですね！私も考えていたので、先を越されました！残念！

100g全部が5%なら10%食塩水は0、100g全部が10%なら10%食塩水は100g

では、返信にて書かれていた、

「濃度」の問題は、「中に溶けているもの（溶質）」の量と、「溶かしているもの（溶媒。

2つの濃度の違う食塩水を混ぜて、その間の特定の濃度の食塩水を作るのはできますか？

5% の食塩水 x グラム と 7% の食塩水 y グラムを混ぜて、7% から 8% の食塩水100 グラムを作ると考えて、連立不等式を立てればできます。

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