No.3ベストアンサー
- 回答日時:
x=-tとおいて、
∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dx=∫[-π→π]{(sint)^2/1+e^-t}dt
=∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^-x}dx=∫[-π→π]{e^x(sinx)^2/1+e^x}dx
=∫[-π→π]{(sinx)^2}dx-∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dx したがって、
2∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dx=∫[-π→π]{(sinx)^2}dx=π
ゆえに
問題の積分=π/2
2行目の右辺は左辺の積分の関数の分母分子にe^xをかけて出てくる。
3行目は、その分子のe^xを、e^x+1-1と書きなおして
積分を2つの積分の差で表わしている。
最後の(sinx)^2の積分はわかるとおもいます。
No.2
- 回答日時:
a を実数定数, f(x) を偶関数とし, 関数 f(x)/(1 + e^x) が [-a, a] で積分可能のとき,
I = ∫_[-a, a] f(x)/(1 + e^x)dx = ∫_[0, a] f(x)dx が成り立つ.
u = -x と変数変換すれば, このことは明らかだ.
こちらがヒントを与えて, それでも解決しないなら, 補足質問するべき.
与えられたヒントを活用する気がないなら, 最初から質問しなければいいだろう.
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