この問題の解き方を教えてください！

この問題の解き方を教えてください。中学2年の問題です。

No.6 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/20 14:41

図を正確に書いた。

内容は同じ。

中学2年だから、直線と点の距離とかは使わずに回答。

(1)台形
台形の定義は「向かい合う1組の辺が平行」だから
OB//PQ。
OBは傾き=3/9=1/3だから、PQの傾きも1/3。
∴PQの方程式はy=1/3･x + a・・・・・①

又点ＱはAPをＰから見て1:2、Oから見ると2:1に分割する。
原点(0,0)とA(3,9)の座標も2:1に分割する。
∴P=(2,6)
①がpを通るから、代入すると6=2/3 + a ∴a=16/3

∴PQの方程式は、y=1/3･x + 16/3

(2)△APQ:△AOB=1:6になる事を使う
△APQは△AOBの1/6になれば良い訳。

△AOBで底辺をAOとすると、高さは下図上の赤線。

△APQの底辺APはAOの1/3だった（1:2だったから）。
∴APQの高さは△AOBの高さの1/2になれば良い。
（1/3 × 1/2 = 1/6だから）

△AB赤点線と、△AQ赤実線は相似形になり、相似比=2:1になれば
∴垂線の長さ(赤実線)=赤実線×1/2となる。

つまり、QはABの中点だとわかる。
だからQ(X,Y)はX=(3+9)/2=6, Y=(9+3)/2=6

Q(X,Y)=(6,6)

この回答へのお礼

図を使ってわかりやすい解説ありがとうございます。わかりやすかったです。

お礼日時：2017/04/20 19:18

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/21 15:24

No6さんの続きから、

△OABの面積は、△OA(Aからx軸への垂線の交点)=△OB(Bからx軸への垂線の交点)
と同じ面積なので、台形AB(Aからx軸への垂線の交点) (Bからx軸への垂線の交点)
の面積なので、(3+9)・(9ー3)/2=36 …(0) なので、
その1/6 は、36/6=6 …(1) また、

A(3,9) P(2,6)より AP=√｛ (3ー2)^2+(9ー6)^2｝=√(1+3^2)=√10
なので、点PからABへの距離を、h とおくと、
△APQ=AP・h/2=√10・h/2 …(2)
6=√10・h/2 より h=12/√10 …(3)

また、点Bから OA までの距離Gは、
OA=√(3^2+9^2)=√｛3^2・(1+3^2)｝=3 √10 なので、
36=OA・G/2=3√10 ・G/2 ∴ G=36・2/(3・√10)=24/√10 …(4)

(3),(4)より
h/G=｛12/√10｝/｛24/√10｝=1/2 となり証明されます！



別解として、
直線ABは、(3,9)と(9,3)を通る直線は、y=ーx+12 …(5)' であり、法線である
y=x と点R(6,6)で、直交するので、AB=√(9ー3)^2+(3ー9)^2=√72=6√2 …(11) 'より

△OAB=6√2・√(6^2+6^2) /2=36 …(0)
36/6=6 …(1)'

今 点P(2,6)を通り、y=x と並行な傾き1の直線もABと直交するので、…(ポイント)
yー6=1・(xー2) ∴ y=x+4

この直線と直線AB y=ーx+12 との交点は、
x+4=ーx+12
2x=12ー4=8
x=4 y=8 より交点S(4,8)とすると、

PS=√ ｛4ー2)^2+(8ー6)^2｝=√(2^2+2^2) =2√2 より AQは、
6=PS・AQ/2=2√2・AQ/2
∴ AQ=6・2/(2√2)=6/√2=3√2 …(2)'

∴ AQ/AB=3√2/(6√2)=1/2
よってQ は、ABの中点である！

こちらの方が、楽でしょう！

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/20 23:37

No6 さんの理論を三平方の定理のみで解きます！また、同じ考え方で、別解も説明しますね！明日にね！

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/04/20 14:35

中学2年だから、直線と点の距離とかは使わずに回答。

(1)台形
台形の定義は「向かい合う1組の辺が平行」だから
OB//PQ。
OBは傾き=3/9=1/3だから、PQの傾きも1/3。
∴PQの方程式はy=1/3･x + a・・・・・①

又点ＱはAPをＰから見て1:2、Oから見ると2:1に分割する。
原点(0,0)とA(3,9)の座標も2:1に分割する。
∴P=(2,6)
①がpを通るから、代入すると6=2/3 + a ∴a=16/3

∴PQの方程式は、y=1/3･x + 16/3

(2)△APQ:△AOB=1:6になる事を使う
△APQは△AOBの1/6になれば良い訳。

△AOBで底辺をAOとすると、高さは下図上の赤線。

△APQの底辺APはAOの1/3だった（1:2だったから）。
∴APQの高さは△AOBの高さの1/2になれば良い。
（1/3 × 1/2 = 1/6だから）

△AB赤点線と、△AQ赤実線は相似形になり、相似比=2:1になれば
∴垂線の長さ(赤実線)=赤実線×1/2となる。

つまり、QはABの中点だとわかる。
だからQ(X,Y)はX=(3+9)/2=6, Y=(9+3)/2=6

Q(X,Y)=(6,6)

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/20 13:49

中学2年では、

点A(3,9) 点B(9,3) を通る直線は、y=ーx+12 …(2) になり
この直線は、y=xにおいて、直線(2)との点R(6,6)(とおく)において対称になるから、
△OABを半分に分つ、 つまり △OAR=△OBR となる！
また、AP : PO=1:2 つまり
点Rから直線AOに降ろした垂線が共通な2つの三角形である関係は
△APR : △POR =1 : 2 となるから、 また
△APR : △OAR : △ OAB= 1 : 3 : 6 となるから
点Rは求める点Qと一致する！

もっと早い解法気がついたよ！同じ考えだが、

点Bから、直線OAに垂線を降ろすと、
AP : PO=1:2 という条件より、
△APB : △OPB=1:2 より
△APB : △OAB=1:3
今、点QをABの中点にとると、同じ考え方により
△AQP : △PQB : △APB=1:1:2 になるから
△AQP : △AOB : 四角形OPQB=1:2:5 となる！

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2017/04/20 19:20

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/20 13:17

1) 台形となるには、貴方も線をひかれているように、

点Pを通り、 辺OBと並行が条件だよね！だから、まず、
点Pの座標を求めよう！
線分OAを原点から2:1に分つ点だから、…(1)
代数的には、
点Pは、OA上の点だから、点A(3,9)より傾きm(とおく)を求め、y=m とし、
(1)より、点Pのx,y座標とも 2:1に分つので 出てくるね！
図形的には、
点A 点P 点Pと原点との中点Q(とおく)から、x軸、y軸に垂線を降ろす6つの点から直ぐにわかるよね！

仮に、点Pを(a,b)とおくと
yーb=m(xーa) が答えとなるね！
2) 四角形POBQ:△APQ=5:1 は、四角形+△APQ=△AOBより
△AOB:△APQ=6:1を示せばいい！まず、

中学3年の三角比でやると
∠OAB=∠PAQ=θ とおくと …(1)
三角形の面積の公式; (一辺)・(一辺の向かいの辺)・sin(その挟む角度) /2 より
△OABと△PAQにおいて (1), 三平方の定理より
3AP・6√2・sinθ /2=6(AP・AQ・sinθ /2)
∴ AQ=3√2 よりABの中点となるから………になる！

中学2年では、
点A(3,9) 点B(9,3) を通る直線は、y=ーx+12 …(2) になり
この直線は、y=xにおいて、直線(2)との点R(6,6)(とおく)において対称になるから、
△OABを半分に分つ、 つまり △OAR=△OBR となる！
また、AP : PO=1:2 つまり
点Rから直線AOに降ろした垂線が共通な2つの三角形である関係は
△APR : △POR =1 : 2 となるから、 また
△APR : △OAR : △ OAB= 1 : 3 : 6 となるから
点Rは求める点Qと一致する！

この回答へのお礼

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。

お礼日時：2017/04/20 19:20

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/20 08:57

問２を書かずに送信してしまいました(汗

四角形POBQが△APQの5倍ということは、両方合わせた△OABは△APQの6倍ということです。
AOを底辺、BからAOに引いた垂線の長さを高さ、と考えると、
AO:APから底辺の長さの比を計算でき、
BからAOに引いた垂線の長さ:QからAOに引いた垂線の長さから高さの比を計算でき、
それらの比を用いて面積比を計算する事ができます。

A,Oの座標からAOの長さは計算できます。
APの長さはPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
AOの長さ÷APの長さによって底辺の長さが何倍であるかを表します。…③

AOの傾きからB,QからAOに引く垂線の傾きが計算でき、
B,Qの座標を通る事も含めると、それぞれの垂線の式を計算する事ができます。
Qからの垂線はQx(もしくはQyあるいはその両方)によって表す事になります。
それぞれの垂線の式を表す事ができたので、
AOとの交点の座標を求める事もできます。
それにより、それぞれの垂線(B,QからAOとの交点まで)の長さを求める事ができます。
Bからの垂線の長さ÷Qからの垂線の長さによって高さが何倍であるかを表します。…④

③×④＝6　となるのが問題の内容ですが、
現在③はPの座標、④はQの座標によって表現されている為、
AP:PQ=1:2を利用して、どちらかの座標のみで表せるようにする必要があります。
APの長さは既に計算しているので、P,Qの座標からPQの長さを計算します。
APの長さ(Pの座標による)*2=PQの長さ(P,Qの座標による)　から、
Pの座標をQの座標で（あるいはその逆で）表す事ができたので、
③×④＝6をP（あるいはQ）の座標のみで表す事ができます。
仮にPxのみで表した場合、Pxの値を求める事ができるので、それを代入してPyも求まります。
Pの座標が確定した事で、それを代入してQの座標も求める事ができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2017/04/20 19:20

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/20 08:35

点P,Qの座標を(Px,Py),(Qx,Qy)とします。

OAの式からPyをPxの式で表す事ができます。
同様にABの式からQyをQxの式で表す事ができます。
A,Pの座標から、APの長さをPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。…①
POBQが台形ということは、OB//PQであるので、OBの式からPQの傾きが分かります。
PQをPを通り傾きがOBに等しい直線として、Px(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
PQとABの交点がQであるため、Qの座標(QxおよびQy)をPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。
P,Qの座標から、PQの長さをPx(もしくはPyあるいはその両方)によって表す事ができます。…②
①：②＝１：２であるので、①*2＝②*1として式を立てれば、PxあるいはPyを求める事ができ、
それを代入してもう一方の値を求める事ができます。
Px,Pyを代入する事で、Qx,Qyについても求める事ができます。

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます

お礼日時：2017/04/20 19:18