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分からない問題があるので、教えていただきたいです。

滑らかな水平面上で、x軸方向に速さvで進む質量mの小球Aが原点に静止している同じ質量mの小球Bに一直線上で衝突する問題を考える。小球Bにばね(ばね定数k、質量は無視できる)が自然長lの状態で取り付けられ、ばねの他端に小球A、Bと同じ質量mの小球Cが取り付けられている。2つの小球A、Bの反発係数eを1とし、小球は大きさの無視できる質点とする。また、衝突は無限小の時間で起こるとする。
ばねが最も縮んだときの長さを求めよ。

どうやって解けば良いのか分かりませんが、とりあえず出せるものを求めてみようと思って、使うか分かりませんが、以下のものを出してみました。

Bの位置をxb、Cの位置をxcとすると、運動方程式は
md^2(xb)/dt^2=k(xc-xb-l)
md^2(xc)/dt^2=-k(xc-xb-l)

また、A、Bの衝突後の速度は
va=0、vb=v

B、Cの重心は一定速度で進み、その値はv/2

相対速度が0になるときを考えれば良いのでしょうか?

ご教示よろしくお願いいたします。

「物理 ばねの運動」の質問画像

A 回答 (3件)

>また、A、Bの衝突後の速度は


>va=0、vb=v
>B、Cの重心は一定速度で進み、その値はv/2
>相対速度が0になるときを考えれば良いのでしょうか?

十分適確な方針です。これにカ学的エネルギー保存則
を加えて数式に直せば即解けますよ。
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もう答えは目の前じゃないですかぁ~!(^^)


B,C間の相対速度が0になるとき、ばねは最大に伸びているか、最大に縮んでいるかのいずれかです(^O^)
しかも、このとき、BとCの速度は重心の速度に一致します(´∀`)
この事を使って、力学的エネルギー保存則を用いれば答えが出てきます(・∀・)
質問者さんは、よく理解しているみたいですので、これ以上の説明はいりませんよね(^^;)
まだ疑問が残るようでしたら、気軽に質問して下さいね(^^v)
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>どうやって解けば良いのか分かりませんが、とりあえず出せるものを求めてみようと思って、使うか分かりませんが、以下のものを出してみました。



「公式」を覚えていても、その意味が分からないから先に進まないのです。

書かれていることから、ほとんど解けると思います。

>Bの位置をxb、Cの位置をxcとすると、運動方程式は
md^2(xb)/dt^2=k(xc-xb-l)
md^2(xc)/dt^2=-k(xc-xb-l)

この xb, xc を、きちんと「ばねの長さ」を使って、x=0 の原点からの座標で表わせば、きちんとした運動方程式になります。
「B、Cの重心は一定速度で進み、その値はv/2」ということが分かっていれば、「B、Cの重心」を基準にした座標でもよいし。

運動方程式から速度、座標を求めてもよいし、エネルギー保存で解いてもよいし。

「公式」よりも、「そもそも、ここでの運動って、どういうもの?」ということを理解すれば、解き方はいろいろ考えつくと思いますよ。
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ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
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と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

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--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

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-----------------------------------------------
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これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
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とのことですが、なぜ上記の公式で、弧の長さと、面積を求めることができるのでしょうか?

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π:円周率

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この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
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      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

よって、このようにすると
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「円周率 × 半径 × 半径」が円の面積であることはすでに習っているはずなので
計算式上で理解しやすいはずです。


さて、ではなぜラジアンを使うのでしょうかという問いですが、
実は半径1の円において、円周の長さが2π(ラジアン)であることに関係しています。
半径1の円の弧の長さ
=円周の長さ × 中心角の割合 =2π × 中心角の割合
=中心角(ラジアン)
ここから、弧の長さ=半径×中心角(ラジアン)が導かれるのです。
きちんと理解ができていれば、ラジアンを使ったほうが簡単だったというだけですね。


扇形の面積に関しては、計算式から求めても構わないのですが、
直感的には、No.4のかたの言うように、三角形に細分化したものを考えます。

同じ扇形を二つ用意して、これを小さな扇形にカットしたものを想像してください。
そしてそれを交互に組み合わせていきます。
 ~~~~
/    /
~~~~
カットの仕方が大きいと上の図のようになりますが、
より微細にカットしたものを使うことによって、
| ̄ ̄ ̄|
|   |
  ̄ ̄ ̄
というように、だんだん長方形に近づいていきます。
このとき、底辺が弧の長さ、高さが半径に近づいていきます。
こうすることによって、
扇形の面積(の2個分)は弧の長さ × 半径 と表されるのです。
すなわち、
扇形の面積=弧の長さ × 半径 ÷2
という式が導かれるわけです。

この作業をしているのが積分なのですが、それは割愛します。

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ということを知っていれば、

弧の長さ:半径 × 中心角(ラジアン) =半径 × 2π × 中心角(°) /360°
     =直径 × π × 中心角(°) /360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積:半径 × 弧の長さ × 1/2 =半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) /360° × 1/2
      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角...続きを読む

Q積分の問題です

高校が文系で大学の積分に困っています。添付した画像の解き方はあっていますでしょうか?なかなか先に進めません。どなたかご教授お願いいたします。

Aベストアンサー

何だか大変そうですね(^^;)
せっかく途中まで計算してあるので、この流れで説明しますね(^^)

2行目第1項(3行目第1項)は
∫x^2/(x^3+8)・dx=(1/3)∫3x^2/(x^3+8)・dx=(1/3)∫(x^3+8)'/(x^3+8)=(1/3)log|x^3+8|

2行目第2項は
分母を因数分解すると (x^3+8)=(x+2)(x^2-2x+4) ですから、この事を使って部分分数に分解します
1/(x^3+8)=1/(x+2)(x^2-2x+4)=A/(x+2) + (Bx+C)/(x^2-2x+4) と置きます
右辺を通分して、その結果の分子は1でないといけませんので、
(分子)=Ax^2-2Ax+4A+Bx^2+Cx+2Bx+2C=1
x^2の係数=A+B=0
xの係数=-2A+C+2B=0
定数項=4A+2C=1

これをA,B,C について解くと A=1/12 B=-1/12 C=1/3
したがって、第2項の積分関数は
1/(x^3+8)=(1/12)・1/(x+2) -(1/12)・(x-4)/(x^2-2x+4)
この式の右辺第1項目は積分できますね・・・問題は第2項目です
第2項目の分母を微分すると (x^2-2x+4)'=2x-2 ですから
(1/12)・(x-4)/(x^2-2x+4)=(1/24)・(2x-8)/(x^2-2x+4)=(1/24)・{(2x-2)-6}/(x^2-2x+4)=(1/24){(2x-2)/(x^2-2x+4) -6/(x^2-2x+4)}
=(1/24){(x^2-2x+4)'/(x^2-2x+4) -6/(x^2-2x+4)}
この式の第1項目の積分はlogになるだけですね・・・問題は第2項目です
x^2-2x+4=(x-1)^2 +3 =3{ (1/3)(x-1)^2 +1}=3{ (x/√3 -1/√3)^2 +1}
したがって、
第2項目=-6/3{ (x/√3 -1/√3)^2 +1}
この式変形で何をやりたいのかと言うと、
∫dx/(x^2+1)=tan^(-1)x
でしたね・・・ですから、
t=x/√3 -1/√3 として置換積分をして下さい

計算ミスがあるかも知れませんので、確認はして下さいね(^^;)
参考になれば幸いです(^^v)

何だか大変そうですね(^^;)
せっかく途中まで計算してあるので、この流れで説明しますね(^^)

2行目第1項(3行目第1項)は
∫x^2/(x^3+8)・dx=(1/3)∫3x^2/(x^3+8)・dx=(1/3)∫(x^3+8)'/(x^3+8)=(1/3)log|x^3+8|

2行目第2項は
分母を因数分解すると (x^3+8)=(x+2)(x^2-2x+4) ですから、この事を使って部分分数に分解します
1/(x^3+8)=1/(x+2)(x^2-2x+4)=A/(x+2) + (Bx+C)/(x^2-2x+4) と置きます
右辺を通分して、その結果の分子は1でないといけませんので、
(分子)=Ax^2-2Ax+4A+Bx^2+Cx+2Bx+2C=1
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Q運動量保存と力学的エネルギー保存

高校物理に詳しい方お願いします。
図のような典型的な問題で、運動量保存の式と力学的エネルギー保存の式から、2つの速度を求めるという問題があるのです
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力学的エネルギー保存が成り立つのは、保存力のみが仕事をするときだったと思うのですが、小球が斜面を押す力によって斜面が運動していることから、保存力以外のものが仕事を与えているように思えます。なぜ力学的エネルギー保存が成り立つのか詳しく教えていただけると幸いです。

Aベストアンサー

<小球が斜面を押す力によって斜面が運動している>
たしかにそのとおりです。なのでこの力が斜面にする仕事は0ではありません。
しかし同時に、作用反作用の法則によって、小球は斜面からこの力と同じ大きさで
向きが逆の力も受けて運動しています。
そして、斜面がなめらかという条件のもとでは
小球からの力が斜面に対する仕事と斜面からの力が小球にする仕事はそれぞれ0ではないが
それらの和が0になるのです。
このことは、これらの力が斜面と垂直の向きであることと、小球が斜面に沿って運動する
ということから導かれます。

ということなので斜面と、斜面が乗っている床が滑らかで斜面も動く場合、保存するのは
小球の力学的エネルギーではなく、それに斜面の運動エネルギーを加えたものす。

Q物理力学の解説をお願いします。

物理力学の解説をお願いします。

Aベストアンサー

No.1 です。

>小物体に生じる加速度α、
>台に生じる加速度βとおいた。
>また摩擦をfBとして表した。
>このとき
>小物体...x軸方向の運動方程式mβ=fB
>y軸方向のつり合いNB=mg
>台....x軸の運動方程式Mα=fB
>y軸方向のつり合いNA=NB+Mg
>fB=NB×μ’として考えた。

小物体Bに生じる加速度をβ
台Aに生じる加速度をα
ということですね? いずれも、床に固定した座標軸で考えましょう。
なお、「台A」の上には「小物体B」が載っていますので、その質量は「M + m」になります。

>(1) Mα=fBより
>α=mgμ’/M ←台の床に対する加速度

いいえ、上に書いたように、「台A」の上には「小物体B」が載っていますので、その質量は「M + m」であり
 (M + m)α=mgμ’
より
 α=mgμ’/(M + m)    ①

>mβ=fBより
>β=gμ’←台に対する加速度の大きさ

小物体Bの運動方程式は、働く力は左向きの「摩擦力」-fB ですが、これに対する加速度は、床に対する加速度αと「台A」の加速度の差なので、運動方程式は
 m*(β - α) = -fB
になります。
つまり
 β = α - gμ’= mgμ’/(M + m) - gμ’= -μ’Mg/(M + m)   ②

>α+β=gμ’(m - M)/M←小物体の床に対する加速度

すべて「床基準」で考えるので、これは不要です。もしβを「台Aに対する、Bの相対加速度」とするなら、これが必要です。ただし、方向と符号に注意。

(2) ①より、小物体Bが静止するまでは、Aの速度は、初期値はゼロなので
  vA = [ mgμ’/(M + m) ]*t   ③

同様に、②より、小物体Bが静止するまでは、Bの速度は
  vB = v - [ μ’Mg/(M + m) ]*t   ④

小物体BがAに対して静止する、つまり③と④とが等しくなるのは
   [ mgμ’/(M + m) ]*t = v - [ μ’Mg/(M + m) ]*t
より
  t = v /μ’g       ⑤
のとき。
このとき
  vA = vB = [ m/(M + m) ]*v

これは、vA = vB = V1 と書けば
  V1 = [ m/(M + m) ]*v      ⑥
つまり
  (M + m)*V1 = m*v
これは「運動量保存」を表わします。

 つまり、摩擦によって、エネルギーは例えば「摩擦熱」などに変わるかもしれませんが、台Aと小物体Bには外力が働いていない(摩擦力は「内力」)ので、運動量は保存されるということです。

(3) ⑥が答ですね。
 ⑥を導かずに(2)を答えるのは、ちょっと難しいかも。

(4) ③式より、初期位置を x=0 として
 xA = (1/2)[ mgμ’/(M + m) ]*t^2
⑤より t= v /μ’g のときには
 xA = (1/2)[ m/[ (M + m)μ’g ]*v^2

(5) AとBの相対速度は、④-③ より
 vAB = v - [ μ’Mg/(M + m) ]*t - [ mgμ’/(M + m) ]*t
   = v - μ’g*t
なので、Bに対してAが進んだ距離は
 xAB = v*t - (1/2)μ’g*t^2
⑤より t= v /μ’g のときには
 xAB = v^2 /μ’g - (1/2)v^2 /μ’g
   = (1/2)v^2 /μ’g


最初の「運動の状態を運動方程式に記述する」ところが最大のポイントですね。

計算間違いがあるかもしれないので、ご自分でもトレースしてみてください。

No.1 です。

>小物体に生じる加速度α、
>台に生じる加速度βとおいた。
>また摩擦をfBとして表した。
>このとき
>小物体...x軸方向の運動方程式mβ=fB
>y軸方向のつり合いNB=mg
>台....x軸の運動方程式Mα=fB
>y軸方向のつり合いNA=NB+Mg
>fB=NB×μ’として考えた。

小物体Bに生じる加速度をβ
台Aに生じる加速度をα
ということですね? いずれも、床に固定した座標軸で考えましょう。
なお、「台A」の上には「小物体B」が載っていますので、その質量は「M + m」になります。

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Qコンデンサー関連でちょっとした疑問です。

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