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No.4ベストアンサー
- 回答日時:
方針は合っています。
ただこの問題のポイントは∠PFQ=90°を理解することだと思われます。
FQ=HQ,PQ=PQ,∠PHQ=∠PFQ=90°を利用して直角三角形
の合同に持ち込む方がすっきりします。
この方針で進むなら∠PFQ=90°だけを示せば済みます。具体的には
Q(t,1/4t^2),F(0,1),H(t,-1),P(a,-1)と置いて、
Pのx座標aをtで表します。
直線PQは微分で求められますね。
(直線PQはy=1/2t(x-t)+1/4t^2,a=(t^2-4)/(2t)になります。)
線分PFの傾きと線分FQの傾きをそれぞれtで表し、
直交することを確かめて下さい。
(PFの傾き:(4t)/(4-t^2),FQの傾き:(1/4t^2-1)/t)
この結果から∠PFQ=90°が成り立つことがわかります。
No.3
- 回答日時:
#1さん,#2さんの仰るように、Pの座標を文字でおいて、計算するのがいいでしょうね。
(一応、書いておきますがPのy座標は-1ではないかと思います)
参考程度ですが,幾何的に解けなくもないですね。
その解き方を書く前に断っておきますが、何ヶ所か証明を省きます。その部分の証明をするのなら、#1さん,#2さんの仰るような解き方をする方が簡単だと思います。
Pから接線が2本引けることは分かるでしょう。
これらの接線の接点をQ1,Q2として、この2点からlに下ろした垂線の足をH1,H2とします。
このとき、点Pは2点H1,H2の中点(←証明必要)なので、
PH1=PH2…★
です。
Q1H1//Q2H2であり、Q1,F,Q2が一直線上にある(←証明必要)ので、
∠FQ1H1+∠FQ2H2=180°
となります。これと、△FQ1H1と△FQ2H2に注目すれば
∠Q1H1F+∠Q1FH1+∠Q2H2F+∠Q2FH2=180°
という事も導けます。
さらに、△FQ1H1と△FQ2H2とが二等辺三角形である事から、
∠Q1H1F=∠Q1FH1
∠Q2H2F=∠Q2FH2
ですね。よって、∠Q1FH1+∠Q2FH2=90°です。∠Q1FQ2=180°と合わせれば,
∠H1FH2=90°…★
です。2箇所に★を書きましたが、この2つから、△H1FH2の外接円の中心は点Pです。
よって、PH1=PF(=PH2)となりました。
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