(3)教えてください

(3)教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/29 14:20

(3)は、図をよく見て、Bを頂点としてみることができれば

求め方に気付けるはずです。


正四面体の頂点をB、△ACDを底面して考えます。
すると、三角錐の体積が 底面積×高さ×(1/3) であることから
正四面体ABCDの体積は、
　△ACDの面積×高さ×(1/3)
三角錐ABPQの体積は
　△APQの面積×高さ×(1/3)
となります。

したがって、△APQの面積と正四面体の高さがわかれば
三角錐ABPQの体積を計算できることがわかります。


まずは高さを求めます。
高さに関しては、Bから△ACDに垂線を引いたものと
Aから△BCDへ垂線を引いたものは同じ長さなので、
図を見てわかりやすいように、
ここではAから△BCDへ垂線を引いたものを考えてみます。

Aから△BCDへ垂線を引いて交点をHとします。
正四面体を真上から見ると、点HはB,C,Dから等距離の位置にあるので
BH=CH=DH となり、△BHCは二等辺三角形になることがわかります。
同時に、∠BHC=∠CHD=∠BHD と角度が同じでもあるので、
∠BHC+∠CHD+∠BHD=360° から
∠BHC=120°
とわかります。

余弦定理より
(BC)²=(BH)²+(CH)² -2BH・CH・cos120°
が成り立つので、BH=CH=x (x>0)とおいて、これを計算すると
4=x²＋x²＋x²
x²=4/3
x=2/√3
すなわち、BH＝2/√3 となります。

ここで△ABHに注目します。
AHは垂線なのだから、△ABHは直角三角形となります。
三平方の定理より
(AH)²+(BH)²=(AB)²
が成り立つので、AH=h (h>0)とおくと、
h² +(2/√3)² =2²
h²=4- 4/3 =8/3
h=√(8/3)
よって、AH=√(8/3) だとわかります。
これが高さにあたります。

＃Bから△ACDに垂線を引いて、その交点をH'とおいても、正四面体なので
＃BH'=AH=√(8/3)
＃となっています。


次に△APQの面積を求めます。
AP=(2-t), AQ=t, ∠PAQ=60° なので、
△APQの面積は
(1/2)・AP・AQ・sin60°=(1/2)(2-t)t×√3 /2 =(2-t)t×√3 /4
とわかります。


ゆえに、△APQの面積と正四面体の高さがわかったので
三角錐ABPQの体積は、
△APQの面積×高さ×(1/3)
={(2-t)t×√3 /4}×√(8/3)×(1/3)
=(2-t)t×(√8 /12)
=(2-t)t×(√2 /6)
ということになります。