最小の非可算順序数(ω+1)が基数でない事はどう証明できるのでしょうか

基礎論に興味を持っている学部生です．
(専門は認知神経科学なので，数学的な素養は最低限です)

最小の非可算順序数(ω+1)が基数でない事はどう証明できるのでしょうか？
また，併せて最小の無限順序数(ω)が基数である事はどう証明できるのでしょうか？

それほど自明でない様に思えます．
カントールの対角線論法を使うのでしょうか？

※ここでの基数は，自身の濃度が自身に一致する順序数
と定義しています．

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/08 22:24

(ω+1) = ω∪{ω}

なら、|ω+1| は「可算無限集合に要素を１個加えたもの」なんだから、
　　|ω+1| = ω
だろ、と単純に思ってましたが、何がまずいのかな？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます．

ωとω+1が全単射を持つ事がしっくり来ない感じです．
1要素ずつ対応させていった場合，(ω+1) = ω∪{ω}なので，(ω+1)のωが余るだろうと感じます．

お礼日時：2018/03/10 02:12

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/10 10:04

No.1へのコメントについてです。

要するに、直感的に「感じます」ということが問題らしい。ならば、
　1⇔0
　2⇔1
　…
と対応させて行くと、⇔の左側の(ω＼{0})と右側のωとが1:1で対応付けられる気がします？ もしこれがOKだと感じるのであれば、Xを「ωの要素ではない何か」だとして、(ω＼{0})∪{0} と ω∪{X} とが
　0⇔X
　1⇔0
　2⇔1
　…
という風に1:1で対応付けられるのも納得いくのではないかと思うんですがね。