組み合わせの等式

恒等式　(nC0)^2+(nC1)^2+(nC2)^2+…+(nCn)^2=2nCn
を組合せの考え方で証明（説明？）してください。
実は自分なりの証明はできたのですが、ほかの方の考え方も知りたくて
投稿しました。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/12 23:22

2n個の要素を持つ集合Pの中からn個の要素選ぶやりかたの場合の数 (2n)Cn を、別の流儀で数え上げたい。

その流儀とは、 Pを、それぞれn個づつの要素から成る二つの集合 Q, Rに分けておいて、「Qからk個と、Rから(n-k)個を選ぶやりかた」の場合の数r(k)をk=0〜nについて合計する、というもの。従って、
　　r(0) + r(1) + … + r(n) = (2n)Cn
となる。

　もちろん、Qからk個選ぶことと、Rから(n-k)個選ぶこととは独立なので、
　　r(k) = (Qからk個選ぶ場合の数)×(Rから(n-k)個選ぶ場合の数)
である。
　そして、Qからk個選ぶ場合の数は nCkである。
　また、Rから(n-k)個選ぶ場合の数 nC(n-k)は、Rにk個を選び残す場合の数nCkと同じ。

　以上から、
　　r(k) = (Qからk個選ぶ場合の数)×(Rから(n-k)個選ぶ場合の数) = (nCk)×(nCk)

というわけで、ご質問の左辺が出来上がる。