整数論の勉強中に分からないところがあります。

整数論を独学で勉強中なのですが、今、読んでいる本に「無限数列が有限個の値しか取らないならば、ある1つの値だけを取る無限数列が存在しなければならない」という記述があったのですが、どういう意味でしょうか？証明などがあるなら、それも含めて教えてもらえるとありがたいです。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/03/15 23:01

無限数列とは末項が存在しない数列です。

例を挙げると、「全ての自然数を表す数列を示せ」という問いの解答は、An=n(n=1, 2, 3…)になります。
自然数は無限に存在するため、末項が存在しない数列（＝無限数列）になります。

これが「1~10までの自然数を表す数列を示せ」だと、An=n(n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)になります。
この場合、末項はA10=10になるので有限数列になります。

無限数列が有限個の値しかとらないということは、n→∞でもある値になるということです。
簡単な例だと、An=1(n=1, 2, 3…)のような有限の整数値を持つ定数の数列が挙げられます。
つまり、数列Anにおいて、nに依存せず、有限の整数値をとる数列は、n→∞でも同じ有限の整数値になります。
（整数論にとらわれないのであれば、有限の実数値をもつ定数）

あと、整数という縛りがないのであれば、nに依存する数列でもn→∞で、ある有限値になる数列があります。
簡単な例だとAn=1/n(n=1, 2, 3…)です。これはn→∞だと0に収束します。

証明という回答ではないですが、ご参考まで。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/15 23:56

無限数列が有限個の値しか取らないならば

その有限個の値のうち少なくとも１つを取る
この数列の項が無限個あるということです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/16 00:01

背理法で瞬殺.

No.4 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/16 03:31

この記述は不完全だと思います。

「無限数列が有限個の値しか取らないならば、その部分列にある1つの値だけを取る無限数列が存在しなければならない」と補足して説明して見ます。部分列とは、もとの数列の中の、一部分の数を並べた数列です。一般的には、これは整数論とは無関係の議論です。
有限個の値というのが、1個で値が２の場合には、2ばかりが並ぶ無限数列２，２，２，２，･･･となります。有限個の値というのが、２個で値が２と３の場合には、2ばかりが並ぶ無限数列にところどころに３がまじった数列を次のように考える：３，２、３，･･･。もしこれが３，２の繰り返しなら、部分列として、３をすべて除去すると、2ばかりが並ぶ無限数列となります。また部分列として、２をすべて除去すると、3ばかりが並ぶ無限数列となります。いずれも、部分列の中に、ある1つの値だけを取る無限数列が存在します。もとの数列に3が有限個しかない場合は、２をすべて除去すると、3ばかりが並ぶ数列は有限数列となります。
　ある1つの値だけを取る無限数列が存在しないときは、有限数列ばかりですから、値の個数をｎとし、有限列の個数の最大値をｍとすると、もとの数列の個数はｍｎを越えないから、もとの数列の個数は有限となる。これは、もとの数列が無限数列だという仮定に反する。ゆえに、部分列の中に、少なくとも一つの値だけの無限数列が存在する。(有限数列を有限個集めても無限にはならない。)

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2018/03/16 07:26

引用されば文章を確認したいので、

本の名前と著者、書いてあるページを示してください。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2018/03/17 09:48

問題の意味はNo.4にある通りでしょう。

整数論とは関係ない、とっても簡単な話です。考え過ぎなきゃ分かると思うな。