2変数関数の最小値の求め方で次の解答は論理的に正しいでしょうか?

a≠0,±1とする。
x,yは実数のとき、f(x,y)=ｘ²-2axy+y²-2bx-2cyの最小値を求める問題で、次のように解きました。
論理的に正しいでしょうか?

f(x,y)={x-(ay+b)}²-(ay+b)²+y²-2cy≧-(ay+b)²+y²-2cy
等号成立は、x=ay+b

また、f(x,y)={y-(ax+c)}²-(ax+c)²+x²-2bx≧-(ax+c)²+x²-2bx
等号成立は、y=ax+c

2直線x=ay+b、y=ax+cは1点で交わるから、その交点を(x,y)=(p,q)とすると、
求める最小値はf(p,q)=…（以下省略）

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/18 13:40

f(x,y)={x-(ay+b)}²-(ay+b)²+y²-2cy から

f(x,y)が最小値をもつ必要十分条件が　1－a²＞0　なので
その条件のもとでその論法は正しいです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/18 01:26

最後の「求める最小値は～」が間違ってる. 「2直線x=ay+b、y=ax+cの交点を(x,y)=(p,q)とする」というのは, 「

その点で最小値をとる」ことの必要条件でしかない.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
この質問は、もとの問題を大幅にアレンジしたのですが、
z=ｘ²-2axy+y²-2bx-2cy
という曲面は、楕円放物面になり、いつも最小値をもつと思いこんでいましたが、
係数によっては、双曲放物面になることもあり、最小値がない（最小値は-∞）こともあるようです。
なので論理的には大間違いですね。

係数によって、楕円放物面であることがわかっていれば（最小値をもつことが保証されていれば）、最小値の求め方としてはよさそうです。
漸化式が与えられた数列の極限も、極限を持つことが保証されていれば、その極限を代数方程式を解くことで求められることと似たものですね。

お礼日時：2018/04/18 02:41