No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
f(x)=g(x)より、底が等しいので 2x-1=5-x→∴x=2
真数条件より、2x-1>0からx>1/2、5-x>0からx<5
なので、まず 1/2<x<5 の条件がつきます。
底が1より大きいので、f(x)>g(x)だから2x-1>5-xを解いてx>2
よって、2<x<5 が解になります。
(2)
h(x)=loga(2x-1)+loga(5-x)=loga(2x-1)(5-x)=loga(-2x^2+11x-5)
ここで、1/2<x<5の間で -2x^2+11x-5の最大、最小を考えると
-2(x-11/4)^2+81/8 だから、最大値は81/8、最小値はなし。
0<a<1なので、真数の最大値がh(x)の最小値になるから、
h(x)の最小値は x=11/4のとき
loga(81/8)=loga81-loga8
=loga(3^4)-loga(2^3)
=4loga3-3loga2
となります。
この回答へのお礼
お礼日時:2009/12/20 13:46
ありがとうございました!
(1)は自力で解けましたが(2)が分からなかったので、丁寧に教えてくださってよかったです。
log苦手なので、復習したいと思います;
本当にありがとうございました!
No.1
- 回答日時:
こんばんは。
(1)
交点の座標を(x1,y1)と置くと、
loga(2x1 - 1)=loga(5 - x1)
2x1 - 1 = 5 - x1
3x1 = 6
x1 = 2 ←x座標
y1 = loga(2×2 - 1) = loga3 ←y座標
(あるいは y1 = loga(5 - 2) = loga3)
交点の座標は、(2,loga3)
a>1 なので、そのまま
2x-1 > 5-x
が成り立ちます。
つまり、上にあったx1の値を持ってくればよいので、
x>2
です。
(2)
f(x)+g(x) = loga(2x-1)+loga(5-x)
= loga{(2x-1)(5-x)}
= loga(10x - 2x^2 - 5 + x)
= loga(-2x^2 + 11x - 5)
今度はaが1より小さいので、大小関係が逆になります。
-2x^2 + 11x - 5 は、上に凸の放物線です。
a<1 ですから、放物線が最大のとき、logが最小になります。
微分するのが近道ですね。
(-2x^2 + 11x - 5)’
= -4x + 11 = 0 のとき
x = 11/4
y(最小値) = loga(-2×(11/4)^2 + 11×11/4 - 5)
= loga(81/8)
= loga81 - loga8
= loga3^4 - loga2^3
= 4loga3 - 3loga2
以上、ご参考に。
いかにもセンター試験に出そうな問題ですので、マスターしましょう。
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