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空気抵抗が半径と速度に比例するので、抵抗力は
Fr = k*r*v ①
雨滴の質量は、水の密度を ρ として
m = ρ*(4/3)パイr^3 ②
運動方程式は
ma = mg - Fr
終端速度では a=0 なので
mg = Fr
①②を使って
ρg*(4/3)パイr^3 = k*r*v
よって、速度は
v = ρg*(4/3)パイr^2 /k ③
従って、単位時間に通過する円筒の体積 Z は、断面積が
S = 4パイr^2
なので
Z = S*v = 4パイr^2 * ρg*(4/3)パイr^2 /k
= [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4 ④
この体積中の微細な雨滴を補修する効率を A とすると、雨滴の質量 M(または体積)の単位時間の増加は
dM/dt = A* [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4 ⑤
一方、微小時間の体積の増加は、雨滴の表面積に半径増加分 dr をかけたものとして表せるので
dM = 4パイr^2 * dr *ρ
これを⑤に代入すれば
dr/dt = A* [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4 /4パイρr^2
= A* [ (4/3)パイ*g/k ]r^2
よって、r の2乗に比例する。
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