雲物理 雨粒の成長速度の問題の解き方を教えてください

dr/dtの求め方を教えてください

答えは4です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/24 16:37

空気抵抗が半径と速度に比例するので、抵抗力は

　Fr = k*r*v　　　①

雨滴の質量は、水の密度を ρ として
　m = ρ*(4/3)パイr^3　　　②

運動方程式は
　ma = mg - Fr
終端速度では a=0 なので
　mg = Fr

①②を使って
　ρg*(4/3)パイr^3 = k*r*v
よって、速度は
　v = ρg*(4/3)パイr^2 /k　　　③

従って、単位時間に通過する円筒の体積 Z は、断面積が
　S = 4パイr^2
なので
　Z = S*v = 4パイr^2 * ρg*(4/3)パイr^2 /k
　　= [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4　　　④

この体積中の微細な雨滴を補修する効率を A とすると、雨滴の質量 M（または体積）の単位時間の増加は
　dM/dt = A* [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4　　　⑤

一方、微小時間の体積の増加は、雨滴の表面積に半径増加分 dr をかけたものとして表せるので
　dM = 4パイr^2 * dr *ρ

これを⑤に代入すれば

　dr/dt = A* [ (16/3)パイ^2*ρg/k ]r^4 /4パイρr^2
　　　　= A* [ (4/3)パイ*g/k ]r^2

よって、r の2乗に比例する。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/04/24 19:54