無限級数の応用問題

任意の正の有理数は重複のない正整数の逆数の有限個の和として表せる
この命題の証明がわかりません
重複がないので2/3=1/3+1/3のような式は認めず2/3=1/2+1/6は認めます
11/37を例に自分で計算してみると
11/37=1/4+7/148
7/148=1/22+3/1628
3/1628=1/543+1/884004
よって11/37=1/4+1/22+1/543+1/884004で、重複のない正整数の逆数の有限個の和になっています
2/3と11/37だけでなく、任意の正の有理数だとどう証明すればいいでしょうか
ヒントにはΣ1/n（n=1～∞）が発散することを使えと書いてありますが、使い方がわからないのでおしえてください

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/25 10:41

目標とする有理数を α としたときに, n=1 から順に

・α < 1/n なら飛ばす
・α ≧ 1/n なら 1/n を使って α を α - 1/n で置き換える
だけだと思うよ.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
正の有理数αとして巨大な数を想定して
1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)<α<1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)+{1/(n+1)}
であるとき
α-{1+(1/2)+(1/3)+・・・+(1/n)}=(1/N1)+(1/N2)+・・・+(1/Nk),ただしN1<N2<・・・<Nk,
と表せたとして
{1,1/2,1/3,・・・,1/n}∩{1/N1,1/N2,・・・,1/Nk}=Ø
は明らかなのに、disjointとなるよう工夫してN1,N2,・・・,Nkを選ぼうなどと大錯覚していました
お恥ずかしいです

お礼日時：2018/04/25 19:42

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/25 18:48

http://antlers.cis.ibaraki.ac.jp/PROGRAM/CPROG/8 …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
せっかくのリンクですがどこの誰が書いたか不明なものは、誤植の多い数学書以上に参考にできません

お礼日時：2018/04/25 19:43

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/04/25 19:24

あと

ｘを正の有理数とすれば
Σ1/nは発散するので自然数Nが存在して
1＋1/2＋1/3･･･＋1/N＜ｘ＜1＋1/2＋1/3･･･＋1/N＋1/(N＋1)　これより
ｘ－(1＋1/2＋1/3･･･＋1/N)＜1/(N＋1)　なので
ｘ－(1＋1/2＋1/3･･･＋1/N)は分母がN＋1より大きい単位分数の和で表わされます。
したがってｘは分母がすべて異なった単位分数の和で表わされます。

この回答へのお礼

なんども回答ありがとうございます
>ｘを正の有理数とすれば
>Σ1/nは発散するので自然数Nが存在して
>1＋1/2＋1/3･･･＋1/N＜ｘ＜1＋1/2＋1/3･･･＋1/N＋1/(N＋1)　これより
x=3/2やx=11/6ならどうですか

お礼日時：2018/04/25 19:46