大学の物理学の問題です

(B)がわからないので教えて欲しいです。

問題
滑らかで水平な床の上に長さL質量Mの細長い板Bが水平に置かれてあり、この板上の一端Pに質量mのAさんが乗っている。Aさんが板B上の他端Qまで直線的に歩いた。最初(時刻t=0)、Aさんおよび板Bは共に床に対して静止していたものとし、またAさんはPからQまで直線的に歩いたものとして以下の設問に答えよ(画像で貼ってあります)。ただしAさんの大きさは無視できるものとする。

質問者からの補足コメント

• 見づらいので設問も書いときます。
  
  (A)最初にPがあった床上の点を原点とし、最初にQがあった床上の点の方向に座標軸をとり、時刻tにおけるAさんおよび板B上の点Pの一座表をそれぞれx(t)およびX(t)、時刻tにAさんが板から受ける水平方向のちからの大きさをf(t)と表すことにして、作用反作用の法則に留意してAさんの運動方程式および板Bの運動方程式を書き下せ。
  
  (B)(A)の結果に基づいて、Aさんが板Bの他端Qに到達した時の、Aさんおよび板B上の点Pの位置座標を求めよ。

    補足日時：2018/05/25 10:10

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/25 11:35

現実の事象で考えると、床と板の間には「摩擦」があって板は動かないけど、これは「物理」の問題なので、おそらく床と板の間には「摩擦はない」という条件なのでしょうね。

ただし、Ａさんが板の上を歩けるということは、Ａさんと板との間には「摩擦」があって「すべらない」。

そういう条件をきちんと書かないと解きようがありません。

それとも、そういう場合分けを全部自分でやって解け、ということかな？
床と板の間の静止摩擦係数を μb, 動摩擦係数を μb'
Ａさんと板の間の静止摩擦係数を μa, 動摩擦係数を μa'
とか。
これだと、各々の大小関係で現象の起こり方が変わるのでちょっと大変だけど、大学物理ならあり得るかな。
もしそうなら、面倒なのでやめておきます。

そうではなく、上に書いた「床と板の間には摩擦なし、Ａさんと板との間には摩擦があってすべらない」という条件なら、(B) だけであれば運動方程式を立てなくとも「板とＡさんを合わせた重心位置は動かない」という条件ですべて解けます。「板とＡさん」という「閉じた系」に対して、外からの水平方向の力は一切働いていませんから。

運動方程式は、Ａさんが歩くために板を押す力、板がＡさんを押す力は、「作用・反作用」なので等しく、これを「板がＡさんを押す力」の方を f(t) とすると、Ａさん・板の加速度をそれぞれ aA, aB として
・Ａさん：f(t) = m*aA　　　　①
・板：-f(t) = M*aB　　　　　②

(A) の答は多分これでいいのでしょうね。

従って、f(t) = const. と仮定して、Ａさんは
・加速度：aA = f(t)/m
・初め静止していたのだから、t 秒後の速度：vA(t) = (f(t)/m)t
・Ｐを原点とした t 秒後の位置：x(t) = (1/2)(f(t)/m)t^2　　　　③

板は
・加速度：aB = -f(t)/M
・初め静止していたのだから、t 秒後の速度：vB(t) = -(f(t)/M)t
・Ｐを原点とした t 秒後の位置：X(t) = -(1/2)(f(t)/M)t^2　　　　④

ＡさんがＰ→Ｑに移動したということは、Ａさんと板の相対変位が 0→L になったということなので、
　x(t) - X(t) = L
こうなる時間は③④から、
　(1/2)(f(t)/m)T^2 - [ -(1/2)(f(t)/M)T^2 ] = (1/2)f(t)*t^2 *(1/m + 1/M) = L
より
　T^2 = 2LMm/[ (M + m)*f(t) ]
これを③④に代入して
　x(T) = [ M/(M + m) ]L　　　⑤
　X(T) = -[ m/(M + m) ]L　　　⑥
となります。

これが多分(B)の答でしょう。


上に書いた「重心位置」で議論すると、板の重心は両端から L/2 の位置にあるので、Ａさんが左端位置にいるときの「Ａさんと板の重心位置」を板の中心から左に D の位置だとすると、この「Ａさんと板の重心」周りの力のモーメントより
　mg * (L/2 - D) = Mg * Ｄ
より
　(M + m)D = mL/2
→　D = [ m/(M + m) ]L/2
となり、板の左端と中心とを M : m に内分する点だということが分かります。
同様に、Ａさんが板の右端に移ったときの「Ａさんと板の重心位置」は、板の中心と右端とを m : M に内分する点だということになります。

つまり、Ａさんが板の左端から右端に移動したとき、つまり「板の上で L だけ動いた」ときに、板の上から見た「Ａさんと板の重心位置」の移動距離は
　2D = [ m/(M + m) ]L
であり、これが「外から見たら動いていない」ので、
・板は、外（床）から見れば、逆方向に [ m/(M + m) ]L だけ動いた、つまり -[ m/(M + m) ]L だけ動いた。
・Ａさんは外（床）から見れば、
　　L - [ m/(M + m) ]L = [ M/(M + m) ]L
　だけ動いた。
ということで、上の結果⑤⑥と一致します。


でも、上記でよいのなら、タイトルにある「大学の物理学」ではなく、高校物理の範囲内ですね。
やはり、もっと高級な問題なのかな。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/25 20:00

運動方程式は、作用反作用の法則から、x、とXの2階の時間微分(加速度)を

aとAとすると、
ma=f(t)
MA=-f(t)

これは、xとⅩの時間微分(速度)をνとVとすると
d(mv)/dt+d(MV)/dt=d(mv+MV)/dt=0
をあらわし、運動量保存を表す。
ここまで作用反作用しか使っていないので、Aと板の摩擦は無関係。

系の重心 (mx+MX)/(m+M) の分子は系の運動量であるから
系の重心はずっと静止したままである。

t=0のときx=X=0だから、重心はずっとPの位置に有って動かない。

従ってAがQに達した時は
mx+MX=0
x-X=L
だから
(m+M)x=ML → x=L・M/(m+M)
(M+m)X=-mL → Ⅹ=-L・m/(m+M)