数学II 1章 1節整式・分数式の計算二項定理パスカルの三角形について教えてください。

展開後の指数の規則を知りたいです。

Question

数学II 1章 1節 整式・分数式の計算 二項定理 パスカルの三角形について教えてください。

展開後の指数の規則を知りたいです。

yhr2 · Accepted Answer

＞展開後の指数の規則

って、どういう規則？
中学校で習う「分配法則」のことかな？
https://takenokojuku.com/distribution-rule
https://jhs-math.komaro.net/jhs01/mojishiki/bunpaihousoku1/

何を知りたいのか、質問が舌足らずですよ！

takoハ · Answer

二項定理の一般項から
nCr a^nーr ・b^r
この場合は、n=4だから
4C0・a^(4-0)・b^0=1・a^4・1=a^4
4C1・a^(4-1)・b^1=4・a^3・b
4C2・a^(4-2)・b^2=6・a^2・b^2
4C3・a^(4-3)・b^3=4・a・b^3
4C4・a^(4-4)・b^4=1・1・b^4
これでわかるでしょう！

masterkoto · Answer

画像2行目から3行目へは画像下のような展開が行われています。・・・分配法則
文字がたくさんある場合の展開は画像のような手順で行います。
まず、aを右側のカッコへ①②③④の順番でかけていく
→順にa⁴,3a³b、3a²b²、ab³が得られる
次にbを右側のカッコへ⑤6⑦⑧の順番にかけていく
→a³b、3a²b²、3ab³、b⁴が得られる
このようにやります＾－＾

yhr2 · Answer

No.1です。「補足」を見ました。

＞画像の空欄(＝展開後の係数)の規則ではなく、赤の印(＝展開後の指数)の規則が分からないです。

だから、No.1 に書いた「分配の法則」ですよ。
https://jhs-math.komaro.net/jhs01/mojishiki/bunpaihousoku1/

これを使って実際にやってみれば（べき乗の「右肩の小数字」を「^」で表わします）

(a + b)^4
= (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)
= [ (a + b)(a + b) ][ (a + b)(a + b) ]　　　①

と分けて

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)　　←これ「分配の法則」
　　　　　　　= a^2 + ab + ba + b^2　　←これも「分配の法則」
　　　　　　　= a^2 + 2ab + b^2　　　　← ab = ba だから、整理するとこうなる

なので、①の続きは

= (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)
= a^2(a^2 + 2ab + b^2) + 2ab(a^2 + 2ab + b^2) + b^2(a^2 + 2ab + b^2)　　←これも「分配の法則」
= [ a^4 + 2a^3b + a^2b^2 ] + [ 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 ] + [ b^2a^2 + 2ab^3 + b^4 ] 　　←これも「分配の法則」
= a^4 + 4a^3b + 6b^2a^2 + 4ab^3 + b^4　　　←項を a のべき乗の大きい順に整理しただけ

ということです。
自分で紙に書いてやってみてね。

展開は、

(a + b)(a + b) の展開
　↓
それに(a + b)をかける
　↓
それに、さらに(a + b)をかける

という順番でやってもよいです。
使うのはすべて「分配の法則」。

kairou · Answer

見たまんまですが。
a の指数は 一つづつ少なくなって、
b の指数は 一つづつ多くなっていますね。

あなたが 赤丸を付けた部分は、
b(a³+3a²b+3ab²+b³) を展開しただけです。
a について、降ベキの順になっていますね。

masterkoto · Answer

パスカルの三角形・・・画像にあるように、直前の段の2つの数字を足し合わせることで、次の段の係数が決まります。
また、二項定理により画像下の空欄を埋めることもできます。
n=5 の段　左から 5C0(=1) 5C1(=5) 5C2(=10) 5C3(=10) 5C4(=5) 5C5(=1)
n=6 の段　左から 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6
というように。

nが小さいうちは、パスカルの三角形も良いですが、nが大きくなるとパスカルの三角形は実用的ではないかもしれません。
そういう場合は二項定理で、というのも１つの手です＾－＾

（私などは、受験のときパスカルの三角形などは、せいぜい3乗の段までしか覚えず、あとは2項定理で済ませていました。）

kairou · Answer

画像の下にある「問8」の「□に入る数を決める規則」と云う事ですか。
単に 線で繋がった上の数字を足すだけですが。（両端は 1 のまま）
a=5 ・・・1, 5, 10, 10, 5, 1 。
a=6 ・・・1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 。
(a+b)⁶=a+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶ 。
質問は、こう云う事ではないのですか。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

数学II 1章 1節 整式・分数式の計算 二項定理 パスカルの三角形について教えてください。 展開後

二項定理の一般項から

画像2行目から3行目へは画像下のような展開が行われています。

No.1です。

見たまんまですが。

パスカルの三角形・・・画像にあるように、直前の段の2つの数字を足し合わせることで、次の段の係数が決まります。

画像の下にある「問8」の「□に入る数を決める規則」と云う事ですか。

＞展開後の指数の規則

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