http://examist.jp/physics/mechanics/dangan/ 「受験の月」

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「受験の月」

この問題の(3)について
解説で、「弾丸か木片の一方だけに着目して立式することはできない。」とありますが、弾丸だけに着目して、
-F(x+d)=1/2mV^2-1/2mv^2
と立式しても解けたのですが、これはたまたまですか？それとも片方に着目しても解けるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• yhr2さん
  回答ありがとうございます。
  直方体はΔtの間力Fを受けて、等加速度運動をするので、
  d=1/2×F/M×Δt^2
  として解いたのですがダメですかね？

    補足日時：2018/07/02 01:15

• yhr2さん
  d=1/2×F/M×Δt^2は
  Fdが残ってしまうという指摘を受けたので、dを求めようと思い立てた等加速度直線運動の式です。
  
  -F(x+d)=1/2mV^2-1/2mv^2は
  (弾丸が受けた仕事)=
  (仕事された後の運動エネ)-(前の運動エネ)で
  仕事とエネルギーの関係の式です。

    補足日時：2018/07/06 13:15

• yhr2さん
  解説ありがとうございます。
  「なお、質問者さんの立式③は、ふつうは物理的な意味で考えれば、v>V なので
  　F(x+d) = (1/2)mv^2 - (1/2)mV^2　　　③'
  と書いて、左辺は「銃弾が木片に対してした仕事」（銃弾のエネルギー減少）、右辺はそれの相当する「銃弾の運動エネルギーの差（減少分）」と書くと思います。」
  とありますが、
  「銃弾が木片に対してした仕事」=「木片がされた仕事」ですか？
  もしそうなら、(仕事)=(力)×(移動距離)だから、③'の左辺は銃弾が木片に対して仕事ではないですよね？

    補足日時：2018/07/07 00:40

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/11 18:41

No.3&4です。

他の質問に答えていて、少しうまい説明を思いつきました。

＞　F(x+d) = (1/2)mv^2 - (1/2)mV^2　　　③'

これは、「銃弾」に関するエネルギー収支の式です。
F の力で、距離 (x + d) だけ動きました。そのときに外にした仕事は F(x + d) で、その結果、速度が v → V に減少しました。
質問者さんも、そういう意味で立式したのですよね？

＞　Fd = (1/2)MV^2　　　　⑤

これは「木片」に関するエネルギー収支の式です。
F の力で、距離 d だけ動きました。そのときにされた仕事は Fd で、その結果、速度が 0 → V に増加しました。

この③' と④の差が、「銃弾が木片にめり込むことに使われた仕事」で、
　F(x+d) - Fd = (1/2)mv^2 - (1/2)mV^2 - (1/2)MV^2
→　Fx = (1/2)mv^2 - (1/2)(m + M)V^2
ということになります。
このときの「仕事」が、上記のエネルギー収支から計算されますが、この仕事は「運動」には関与していません。運動に関与していのは③’ と④だけです。

そして、その「運動」の速度は、仕事・エネルギーからではなく、(1) のように「運動量保存」から決まります。
個々の仕事・エネルギーの収支は、個別の「やりとり」を表わしているだけで、全体の「エネルギー保存」を表わしているわけではありません。

なお、最初の質問に戻って、質問者さんの

＞弾丸だけに着目して、
＞-F(x+d)=1/2mV^2-1/2mv^2
＞と立式しても解けた

というのも、結局は Fd を求める段階で「木片のされた仕事」を使っているわけで、それを指して解説では「弾丸か木片の一方だけに着目して立式することはできない。」と言っているのだと思います。

このような説明で、「一件落着」にはなりませんか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/07 00:52

No.3です。

「補足」に書かれたことについて。

＞「銃弾が木片に対してした仕事」=「木片がされた仕事」ですか？
もしそうなら、(仕事)=(力)×(移動距離)だから、③'の左辺は銃弾が木片に対して仕事ではないですよね？

失礼、左辺は「銃弾が木片に対してした仕事」ではなく「銃弾がした仕事」と書くべきでしたね。
全部が全部「木片に対して」とは限りませんから。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/06 15:48

No.1&2 です。

「補足」その2の件。

＞d=1/2×F/M×Δt^2は
＞Fdが残ってしまうという指摘を受けたので、dを求めようと思い立てた等加速度直線運動の式です。

やるとするなら、木片の運動方程式
　F = Ma
　a = M/F
→　V(t) = (M/F)t　　　　　①
　　X(t) = (1/2)(M/F)t^2　　②
から、V(T) = V となる T は
　T = V/(M/F) = VF/M
これを②に代入して
　　d = X(T) = (1/2)(M/F)(VF/M)^2 = (1/2)(F/M)V^2
ということかな？
質問者さんのは式が違っていますね。

このようなありさまで、どうやって
　-F(x+d) = (1/2)mV^2 - (1/2)mv^2　　　③
という式を立式して、そこから x を求めたのですか？

物理的な意味からは
　Fd
は「木片に加える力 × 木片の移動距離」なので「木片がされた仕事」であり
　Fd = (1/2)MV^2
と書けます。
なので③は
　-Fx - (1/2)MV^2 = (1/2)mV^2 - (1/2)mv^2
となり、移項すると
　-Fx = (1/2)(M + m)V^2 - (1/2)mv^2　　　　　④
となって、リンク先の解答と同じ式が得られます。
従って、質問者さんのやり方でも、リンク先の解答と同じ結果が得られることになります。

リンク先の解答では、言葉では「弾丸か木片の一方だけに着目して立式することはできない」と書いて、説明の中でも弾丸のした仕事 Fx の一部が熱エネルギーになるようなことが書いてありますが、結局④式では「弾丸が『めり込む』ことでした仕事が、すべて『木片+弾丸』の運動エネルギーになった」式、つまり「力学的エネルギー保存」の式にしていますね。

なお、質問者さんの立式③は、ふつうは物理的な意味で考えれば、v>V なので
　F(x+d) = (1/2)mv^2 - (1/2)mV^2　　　③'
と書いて、左辺は「銃弾が木片に対してした仕事」（銃弾のエネルギー減少）、右辺はそれの相当する「銃弾の運動エネルギーの差（減少分）」と書くと思います。
これが分かって③を立式しているのならよいのですが。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/02 10:49

No.1 です。

「補足」を見ました。

＞d=1/2×F/M×Δt^2

これは何の式ですか？

あとは、質問文の中の

＞-F(x+d)=1/2mV^2-1/2mv^2

の物理的な意味は何ですか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/29 14:32

＞弾丸だけに着目して、

＞-F(x+d)=1/2mV^2-1/2mv^2
＞と立式しても解けたのですが、

どういう風に解いたのですか？
Fd が残っちゃうよね？