次の積分の求め方を教えてください。 r,r'はベクトルとします。 ∫d^3r' 1/|r-r'|^2

次の積分の求め方を教えてください。
r,r'はベクトルとします。
∫d^3r' 1/|r-r'|^2
が下のようなの関数fを用いて求められるそうなのですが、どのようにすれば良いのでしょうか。ただし積分領域は|r'|<=r0(ある定数)のような球で考えます。

f(x)=2+{(1-x^2)/x}×ln|(1+x)/(1-x)|


よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/12 07:14

f(x)=2+{(x^2-1)/x}×ln|(1+x)/(1-x)|とした場合には、

I=πＲf(R/c)

問題文のように、
f(x)=2+{(1-x^2)/x}×ln|(1+x)/(1-x)|とした場合には、
I=πＲf(c/R)
のようになります。

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時：2018/07/12 11:59

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2018/07/11 18:21

No.2です。

検算の結果|ｒ|＞r0の場合、
求める積分値は
πr0[2－{(1-x^2)/x}×ln{(1+x)/(1-x)}]　ｘ＝r0/|ｒ|　です。
これは前に回答した答えと同じです。

この回答へのお礼

他の方がご指摘の通り
x=|r|/|r0
とすれば+になり
x=r0/|r|
とすれば-になるんですね。
前回の質問の方でベストアンサーに選ばさせて頂きます。

お礼日時：2018/07/12 11:58

No.4 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/11 11:08

c≧Rの場合の結果を報告します。

c≧Rとする。
r1≦r≦r0
ただし、
r0=-ccosθ+(R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2)
r1=-ccosθ-(R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2)

π-θ0≦θ≦π
ただし、θ0=arcsin(R/c)

I=∫∫∫dxdydz/(x^2+y^2+(z-c)^2)
= ∫[0,2π]∫[π-θ0,π]∫[r1,r0]r^2sinθdr dθdφ/r^2
=∫[0,2π]∫[π-θ0,π]∫[r1,r0]sinθdr dθdφ
=2π∫[π-θ0,π]2(R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2) sinθdθ
=4π∫[π-θ0,π](R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2) sinθdθ
t=cosθとおく。
=4π∫[-1,-(1-(R/c))^1/2] (R^2-c^2+c^2t^2)^(1/2)dt
=4πJ1
J1=c∫[-1,-(1-(R/c))^1/2] (R^2/c^2-1+t^2)^(1/2))dt
(A=R^2/c^2-1)
= c∫[-1,-(1-(R/c))^1/2] (A+t^2)^(1/2))dt
=(c/2)(t(t^2+A)^1/2+Alog|t+(t^2+A)^1/2|)[-1, -(1-(R/c))^1/2]
=(c/2)((1+A)^1/2+Alog[(1-R^2/c^2)^1/2/(1-R/c)])
=(c/2)((1+A)^1/2+Alog[(1+R/c) /(1-R/c) ]^1/2)
=(c/2)((1+A)^1/2+(1/2)( R^2/c^2-1)log[(1+R/c) /(1-R/c) ])
=(c/2)((R/c+(1/2)( R^2/c^2-1)log[(1+R/c) /(1-R/c) ])
=(1/2)((R+(c/2)( R^2/c^2-1)log[(1+R/c) /(1-R/c) ])

I=4πJ1=πR ((2+(c/R)( R^2/c^2-1)log[(1+R/c) /(1-R/c) ])
=πR f(R/c)
以上の結果より、固定点がどこにあっても、

I=πR f(R/c)
ただし、f(x)=2+(x^2-1)/x+log|(x+1)/(x-1)|
昨日は気が付かなかったですが、f(x)が微妙に違いますね。

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/10 21:12

固定点の原点からの距離をcとする。

対称性より、固定点はどこにあっても積分値に影響しないので、
固定点を(0,0,c)(c>0)とする。適当なところに固定点を設定すると死にます。積分領域である球の半径をR とする。
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ+c
とおく。
x^2+y^2+z^2=r^2+2rccosθ+c^2≦R^2
0＜c≦Rとする。
0≦r≦r0
r0=-ccosθ+(R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2)
I=∫∫∫dxdydz/(x^2+y^2+(z-c)^2)
= ∫[0,2π]∫[0,π]∫[0,r0]r^2sinθdr dθdφ/r^2
=∫[0,2π]∫[0,π]∫[0,r0]sinθdr dθdφ
=2π∫[0,π]∫[0,r0]sinθdr dθ
=2π∫[0,π]r0sinθdθ
=2π∫[0,π] (-ccosθ+(R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2))sinθdθ
=2πJ

（∫[0,π] (-ccosθsinθ)dθ=0）

J =∫[0,π] (R^2-c^2(sinθ)^2)^(1/2))sinθdθ
=∫[0,π] (R^2-c^2(1-(cosθ)^2)^(1/2))sinθdθ
=∫[0,π] (R^2-c^2+c^2(cosθ)^2)^(1/2))sinθdθ

(t=cosθ -sinθdθ=dt)

=∫[-1,1] (R^2-c^2+c^2t^2)^(1/2))dt
=c∫[-1,1] (R^2/c^2-1+t^2)^(1/2))dt

(A=R^2/c^2-1)

=c∫[-1,1] (A+t^2)^(1/2))dt
=(c/2)(t(t^2+A)^1/2+Alog|x+(t^2+A)^1/2|)[-1,1]
=c(1+A)^1/2+(c/2)Alog|(1+(1+A)^1/2)/( -1+(1+A)^1/2)|
= R +(c/2)( R^2/c^2-1)log|(1+R/c)/ (1-R/c )|
=R[1+(1/2)( R^2/c^2-1) /(R/c)log|(1+R/c)/ (1-R/c )|]

I=2πR[1+(1/2)( R^2/c^2-1) /(R/c)log|(1+R/c)/ (1-R/c )|]
＝πR[2+( R^2/c^2-1) /(R/c)log|(1+R/c)/ (1-R/c )|]
=πR f(R/c)
となる。
c>Rの場合はうまくいきません。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2018/07/10 18:59

前スレで回答した者です。

|ｒ|＞r0とします。
積分範囲の球の中心を原点としベクトルｒの向きがｚ軸の正方向になるようなｘｙｚ座標軸を立てます。
そしてベクトルｒ‘＝(ｘ’、ｙ’、ｚ’)の各成分を
ｘ’＝ρsinθcosΦ、ｙ’＝ρsinθsinΦ、ｚ’＝ρcosθ　と球座標表示ρ、θ、Φで変換すれば
|r-r'|^2＝ρ²－2|ｒ|ρcosθ＋|ｒ|²　そして体積要素d^3r' ＝ρ²sinθｄρｄθｄΦなので
求める積分は
∫∫∫ρ²sinθｄρｄθｄΦ/(ρ²－2|ｒ|ρcosθ＋|ｒ|²)
という３重積分になります。
積分範囲はもちろん、0≦ρ≦r0、0≦θ≦π、０≦Φ≦2π　です。
確認してみてください。

なお自分はご指摘を受けてただいま検算中です。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/10 10:49

関数fの話は、はじめは気にしないことです。

計算を進めている途中で関係が出て来るかもしれない。いや全然使わないかもしれない。

積分範囲を球体 A = { r | |r|≦R } としましょう。
中心がrで半径がtの球殻をS(t)とします。そして S(t)∩A の面積をW(t)とすれば、お求めの積分が
　∫ W(t)/(t^2) dt (tは0〜∞）
に等しいことは明らかでしょう。もちろん、r∈Aの場合、tが小さくてS(t)∩A = S(t)が成り立つときにはW(t) = 4π(t^2)ですから、被積分関数はW(t)/(t^2) = 4π という定数です。それ以外のとき、被積分関数はどんな式で書けますか、というのが次のステップ。