1/tan^3(x)の積分 どちらが正しいのでしょうか

tan^3(x)の積分　2つの方法でやったのですが、どちらが正しいのでしょうか。
間違っている方はどこが間違っているのか教えてください。

∫1/tan^3(x) dx

①　=∫ {1 + tan^2(x) - tan^2(x)　} / tan^3(x) dx =
∫　{　(1/cos^2(x) ） - tan^2(x)　} / tan^3(x) dx =
∫　{　(tan(x)' ） - tan^2(x)　} / tan^3(x) dx =
∫　　(tan(x))' / tan^3(x) dx - ∫　 1 / tan(x) dx =
= { -1/2 ・(1/tan^2(x)) } - ∫　 cos(x)/ sin(x) dx
= { -1/2 ・(1/tan^2(x)) } - log|sin(x)| +c

②　=∫ 1 / { sin^3(x) / cos^3(x) }　dx = ∫ cos^3(x) / sin^3(x) dx
= ∫ cos^2(x) × cos(x) / sin^3(x) dx
= ∫ {　 (1- sin^2(x)) × cos(x)　} / sin^3(x) dx 　
　　sin(x)=ｔと置くと　dt = {1/ cos(x) }・dx
よって=　 ∫ {1- sin^2(x) } / sin^3(x) dx = ∫ {1- t^2 } / t^3 dt
　 = ∫ 1/ t^3 dt - ∫ t^2/ t^3 dt
= -1/2 ・t^-2 - log|t| + c
= -1/2 ・( 1/sin^2(x) ) - log|sin(x)| + c

①と②で どうも　-2/1　の項が　sin と　tanで異なってしまいます。
　どこが間違っているのかどなたか教えてください。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/30 18:34

1/(tan x)^2 = (cos x)^2/(sin x)^2 = {1 - (sin x)^2}/(sin x)^2 = 1/(sin x)^2 - 1

なので、①と②の違いは積分定数の置き方だけです。同じ答えですよ。

この回答へのお礼

長い文章を読んでもらってすいません。
なるほど。そういう事ですか。そこまで頭がいきせんでした。
三角関数の積分は気を付けます。
ありがとうございます。

お礼日時：2019/03/30 20:53

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/03/30 17:52

正しい答は、(-1/2)･(1/sin²(x)) - log|sin(x)| + Cです。

①が間違っているわけですが、よく計算を見直してみて下さい。

この回答へのお礼

少し長い文字ですいません。
ありがとうございます。もう一回やってみます。

お礼日時：2019/03/30 20:50