偏微分の問題 z = √｜x y｜のR2での微分可能性を求めよ。 この問題なのですが、 {f (x＋

偏微分の問題

z = √｜x y｜のR2での微分可能性を求めよ。
この問題なのですが、
{f (x＋y, y)- f(x,y)}/h ={√｜y ｜(√｜x ＋y ｜- √｜x ｜)}/h の分母に、√｜x＋h ｜＋√｜x ｜をかけて、{√｜y ｜(｜x ＋ y ｜- ｜x ｜)}/h(√｜x＋h ｜＋√｜x ｜)までは求められたのですが、ここから先どう処理していけばいいのか分かりません。√のついた絶対値の処理の仕方が苦手です。誰か教えてくれませんか？

質問者からの補足コメント

• 回答をありがとうございます。偏微分可能です。

    補足日時：2018/07/22 22:57

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/22 22:31

微分可能性とは、偏微分可能性ですか？、それとも全微分可能性ですか？

通常は、後者を指しますが。

No.2 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/23 01:59

もう一回同じようなことをして分子の絶対値が2乗で外れるようにしてみては？

No.3 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/23 07:40

lim[h→0]{f (x＋h, y)- f(x,y)}/h = lim[h→0]{√|y |(√｜x＋h｜- √｜x｜)}/h

= lim[h→0]{√|y |(｜x＋y｜- ｜x｜)}/h(√｜x＋h｜＋√｜x｜)
=lim[h→0]{√｜y |/(√｜x＋h｜＋√｜x｜)} lim[h→0]{ (｜x＋h｜- ｜x｜)}/h
=(1/2)√| y/x | lim[h→0]{ (｜x＋h｜- ｜x｜)}/h

x>0のとき、0に十分近いhに対して、x＋h>0となります。
=(1/2)√| y/x | lim[h→0](x＋h- x)/h=(1/2)√| y/x |

x<0のとき、0に十分近いhに対して、x＋h<0となります。
=(1/2)√| y/x | lim[h→0]{ (-(x＋h)-(-x)}/h=-(1/2)√| y/x |

x=0のとき、
lim[h→0]{f (h, y)- f(0,y)}/h = lim[h→0]{√|y |(√|h|- 0)/h
=√|y | lim[h→0] (√|h|/h) ( y≠0)　収束しない。
=0 (y=0)

以上を総合すると、
fx=(1/2)√| y/x |　(x>0)
fx=-(1/2)√| y/x |　(x<0)
fx=存在せず　(x=0,y≠0)
fx=0　　(x=0,y=0)

同様に、
fy=(1/2)√| x / y |　(y>0)
fy=-(1/2)√| x / y |　(y<0)
fy=存在せず　(x≠0,y=0)
fy=0　(x=0,y=0)

となります。

この回答へのお礼

回答をありがとうございます。毎度本当助かります。

お礼日時：2018/07/23 08:42