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外積を成分表示で定義した場合外積の向きが右ねじの法則で表せる事を証明するにはどうしたら良いでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 右手系であるとします

      補足日時:2018/09/15 18:45
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A 回答 (5件)

3次正方行列 (a b a×b) の行列式の符号を見るのはどう?

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証明の方針だけですが、


1.原点を共有する2つの右手系は原点を中心とする回転などの結果、座標軸を重ねることが出来る。
2.外積を計算する2つのベクトルの1つvが新x軸の正の方向と重なり、もう一つのベクトルwの新しい座標系でのy成分が正となるようにできる。
3.新しい座標系でベクトルの成分を表す。
4.wのベクトルを新しい座標系でのx成分とy成分に分ける。
5.がいせき計算なので、分配法則が使える。
6.xは新成分が(k、0,0) k>0
7.がいせき計算を新しい成分で行う。
8.結果として、新座標でのz成分が正となる。
9.新座標系の関係は右手系なので、z軸の正の方向は右ねじの進行方向をしめす。

こんなところでしょうか??
めんどうくさい。
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証明できないと思います。



理由
座標系は右手系と左手系の二通りの取り方がある。
座標が
がいせき計算の結果
(0,0,1)
となったときに、
その座標が表す点は
右手系と左手系では反対の位置にある。

3次元で数値による座標を決めても
座標系の取り方で、位置は異なってしまう。
右手系と左手系のどちらをとるかは自由なので
がいせきの結果が同一でも、場所までは特定できない。

あまり自信はありませんが、参考までに。
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この回答へのお礼

座標系を定めれば証明可能でしょうか?

お礼日時:2018/09/15 13:23
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この回答へのお礼

先に成分表示を定義した場合の話です。

お礼日時:2018/09/15 11:42

発想が逆です。



「向きが右ねじの法則で表せるように」外積を定義したのです。
従って、外積の項の順番を逆にすれば、向きは逆になります。
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この回答へのお礼

2つは同値なのでどちらを定義にしても良いですよ

お礼日時:2018/09/15 12:19

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