テイラー展開について

テイラー展開の出ているホームページを見ていると皆同じような説明が書かれているのですが
いまいち理解できません。
テーラー展開といえば(x-a)でaの回りでのテイラー展開といい、a=0の時には特にマクローリン展開
と書いてあります。
指数関数や三角関数を展開する時にはいつもa=0の時のマクローリン展開の説明があります。
例えばsin(x)などは下記の式が出てきますが、これはsin(0)の値の近似式なのかsin(x) x=実数すべてに
通用する式なのかわかりません。
例えばsin(pi/5)を求めるときは、下記の式にpi/5をｘに入れてあげればいいのでしょうか？
説明文を読むと０の近傍しか使えないみたいなことが書かれて、混乱しています。
質問内容をうまく書けないのですが、内容を理解して頂ければ分かりやすいように
説明して頂ければ幸いです。もしくはこの辺のことをわかりやすく書いてあるホームページが
有りましたら教えて頂きたいのですが。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/01 00:12

マクローリン展開は 0 の近傍で意味を持つ式ですが, べき級数には

|x| = ρ であるようなある x で発散すれば |x| が ρ より大きい全ての x で発散する
という性質があり, 収束するか発散するかの境界の値を「収束半径」と呼びます. つまり, 収束半径を ρ とすると
・|x| < ρ なら収束する
・|x| > ρ なら発散する
ので, 代入する x の絶対値が当該べき級数の収束半径より小さければ適切な値が得られます.

また, べき級数には「どんな x に対しても収束する」あるいは「x = 0 でなければ収束しない」というものもあり, それぞれ収束半径を ∞ 及び 0 とします.

そして sin x に対するべき級数の収束半径は ∞ なので, どんな x を代入してもちゃんとした値になります.

この回答へのお礼

スーっとわかったという気はまだしないのですが、収束半径という言葉を気にしながら
また勉強したいと思います。
有難うございました。

お礼日時：2018/10/01 21:23

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/01 08:53

>説明文を読むと０の近傍しか使えないみたいなことが書かれて、混乱しています。

それは多分数学とはちょっと別の話。
この計算を浮動小数点で演算すると、
桁落ちが起きるので
計算精度が0から遠ざかるほど落ちます。

つまり工学的には、普通の計算機の実数演算の仕組みでは
xが0から遠いと実用になりません。

π/5 程度なら問題なく計算出来ますよ。

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2018/10/01 13:45

> 説明文を読むと０の近傍しか使えないみたいなことが書かれて、混乱しています。

そう、0の近傍でしか使えません。問題はどこまで0の近傍かですね。
収束半径∞の級数なら有限の全てのxが0の近傍に入ると考えて良いです。