モンティ・ホール問題を小学生にもわかるように教えてください。

モンティ・ホール問題を小学生にもわかるように教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： ウシサソリ 回答日時： 2018/10/21 00:00

モンティ・ホールというのはアメリカのバラエティ番組の司会者の名前。

その番組のコーナーで、挑戦者に三つのドアのうち一つだけある当たりのドアを選んだら新車がもらえるというのがあった。当たりか外れかは、ドアを開いて向こうに新車があれば当たり、ヤギがいたら外れという趣向だった。
挑戦者がドアをひとつ選んだあと、モンティは残り二つのドアから一つ外れのドアを開けてヤギを見せて、さあ、今なら、まだドアを選び直せるけど最初のドアのままでいいか挑戦者にきく。このとき、最初のドアのままの方がいいのか、選び直す方がいいのか、という質問が、ニュース雑誌に何でも答えるコラムを担当していたIQ200で全米で有名なマリリン・ボス・サヴァン女史に寄せられた。マリリンは、選び直せば当たる確率は二倍になると答えたところ、数学者を含む九割がたの読者からいくらなんでも間違っていると批判されることになった。
三つあるドアのうち、挑戦者が選んでいない一つのドアがモンティから外れと知らされ、残り二つのドアは、当たり外れ半々だから、どっちを選んでも当たる確率は同じじゃないか、と大方の人は思ったわけ。
マリリンが言うにはこうだ。何、言ってるの。挑戦者が三つあるうち一つ選んだ時点で、そのドアが当たりの確率は三分の一。これは、モンティが残る二つのドアから一つ外れのドアを開けても、三分の一のまま。逆に言えば、そのドアが外れの確率は三分の二のまま。ということは、まだ当たりか外れか分かっていないドアが当たりの確率も、三分の二になるのよ。

マリリンの説明を図入りでやり直すと、こうなる。
最初は、どのドア(当たりか外れか分かっていないものを□、外れを■で表す)も当たりの確率は三分の一。
□□□

挑戦者が選んだドアを○で表す。挑戦者が選んだドアが当たりの確率は三分の一。
○□□

モンティが外れだよと開いたドアを■で表す。
○□■
このとき、挑戦者が選んだドア○の当たりの確率は三分の一なので、残りのドア□が当たりの確率は、1 - 1/3で、2/3。

これで数学者をはじめ納得する人が増えたものの、なんだか腑に落ちない人はまだ多かった。マリリンの理屈は、当たりか外れかまだ分かっていない残りのドアにも当てはまるように思えたからで、残りのドアが当たる確率もまだどれも選んでいない時点では三分の一なのだから、挑戦者が最初に選んだドアの当たる確率が三分の二と解釈しても良さそうじゃないか、何か変だ、丸めこまれている気がするというわけ。
こういう人たちに対しては、ドアの枚数を増やして説明することで、ざっくり、次のようなことが伝われば、納得する人は増えたが、納得できない人はまだ残ってしまった。
n枚のドアのうち一枚だけ当たりのドアがある。挑戦者が一枚選らんだあと、モンティが残りのドアから一枚、外れのドアを開けて見せたあと、挑戦者が選び直せば当たりの確率は高まる。なぜなら、挑戦者が最初に選んだドアが当たりの確率は、n分の1で、選び直したドアが当たりの確率は、n分の(n-1)を(n-2)で割った値になり、こればn分の1より大きいから。(こども向けには、nを使った式ではなく、nに具体的な数値を当てはめて、いくつか示すほうが分かりがいいだろう)
n=3のとき、1/3 < 2/3
n=4のとき、1/4 < 3/8
n=5のとき、1/5 < 4/15
n=10のとき、1/10 < 9/80
n=100のとき、1/100 < 99/9800

それでも納得できない人は、論理的理解より直感による心理的錯覚の罠に陥ってしまっているので、試行回数を相当繰り返して実際にやってみないと実感しない。マリリンの言っている内容は理解しがたいがやってみた結果からは正しそうだ、となる。

というわけで、モンティ・ホール問題というのは、三枚のドアから一枚選らんで当たりを当てるこの問題自身を指したり、直感で正しいとおもえる答えと論理的に正しい答えが食い違うジレンマを指す代表的な例としても使われる。

数学者が惑わされたのは、この番組を見たことがなくて、モンティが外れのドアを開いて見せたあと、挑戦者がドアを選び直すとき、自分が選んだドアがどっちなのか分からない状態にしてから選び直すものだと言う具合に錯覚をしてしまったか、あるいはマリリンがそのあたりを誤解の余地がないよう読者に向けて丁寧に説明しなかったのが原因のようだ。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/20 18:03

小学生だとそもそも確率知らないよね。

まさかここで小学生向けの確率の導入は出来ないので
できるだけ平易な説明。

3個のトビラの内、当たりは1個なので、
最初に参加者が選んだ時当たっている確率は当然
1/3。外れている確率は2/3

さてここで、司会者が「外れ」のドアをあけたあと
参加者が残りの最後のドアに選び直したとすると

最初の選択が当たりなら、選び直せば必ず外れになる。

最初の選択が外れなら、司会者は「必ず」外れを開くので
残り一枚は必ず当たりになる。

つまり司会者が開き参加者が選び直すことは、機械的に
当たりを外れに、外れを当たりに取り替えているだけ。

なので、参加者が選び直すなら、
当然当たりの確率は2/3、
外れの確率は1/3になる。

従って選び直した方が当たりの確率が倍になる。ずっとお得です(^-^;

No.1 回答者： lasato 回答日時： 2018/10/20 17:36

ウィキペディアで調べました!おもしろいですね!

これは扉の数を増やして考えるといいと思います。
扉が百個あったとしてください。
1つの扉を選んだら、司会者は残りの99個の扉のうち、ハズレを98個開けてくれます!
そうなると、最初に選んだ扉が当たり(1/100の確率)でない限りは残った扉を選んだら当たるということです

3つの場合も同様に、最初に当たり(1/3)を選んでない限りは残りのほうが当たりの可能性が高いです