標準正規分布に従う互いに独立な連続型確率変数x1,x2,...,xnを仮定する (1)(x1+x2)

標準正規分布に従う互いに独立な連続型確率変数x1,x2,...,xnを仮定する
(1)(x1+x2)/2の期待値がゼロとなることを示せ
(2)(x1+x2)/2の分散が1/2となることを示せ
という問題ですが、全く手がでません。
標準正規分布は、N(0,1)に従うと定義されていますが、これにXを入れて示すのでしょうか…

No.1 ベストアンサー 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/11/10 16:38

https://bellcurve.jp/statistics/course/18592.html

(1)は期待値の線形性を使います。

要するにE[(X1+X2)/2]=(1/2)E[X1+X2]=(1/2)E[X1]+(1/2)[X2]となり、標準正規分布は期待値0、分散1の分布なので、E[X1]とE[X2]は共に0です。なので、0となることが示せました。

(2)分散の関係式に気を付けてください。

XとYが独立ならばV[X+Y]=V[X]+V[Y]が成立します。またスカラーについてはV[aX]=a^2V[X]が成立します。

なので、V[(X1+X2)/2]=(1/4)V[X1+X2]=(1/4)V[X1]+(1/4)V[X2]となる。また、N(0,1)に従うのでV[X1]=V[X2]=1となる。

よって、(1/4)(1+1)=1/2となり示された。

直接計算してもいいけど、とても大変ですね。