No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2説明が悪かったので訂正
A(またはAに非常に近い点A')から引いた接線と3次曲線の接点がB(a,f(a))です。
ここで画像のように、(2,0)からわずかにずれた点A'から曲線に接線を引くものとします。
この場合でも、模範解答(2)のaの3次方程式が(近似的に)得られたとすれば
画像では3本の接線が引けていますのでこの3次方程式は3つの異なる解を持つはずです。(aは接点のx座標を表していますから)
さて、A'をAに近づけていくことを考えましょう。A'とAが近づくほどにB(黒)とB(青)も近づいていきますよね。そしてA'とAが重なるときに、B(黒)とB(青)もピッタリ重なります。
ピッタリ重なる前は、接点が3つですからaの3次方程式も解は3つです
ピッタリ重なった時、B(黒)のx座標と、B(青)のx座標は一致することになるので
それぞれのx座標を表すaは重なり結果重解となるわけです。
その重な地点がx=a=2という事ですね^-^
(以上直感的解説でした。)
No.2
- 回答日時:
曲線: y=x³+2x²-5x-6 と
点(2,0)を通るこの曲線の接線: y=m(x-2)
の交点のx座標を求める場合 2つの式から
x³+2x²-5x-6=m(x-2)・・・① (曲線と接線の交点を求める式)
(2,0)は曲線上の点だから、グラフからx=2は方程式①の重解
ここで、接点の座標をx=aとすればm=f'(a)
接点とは交点の事でもあるから、①にx=aを代入しても等式が成り立つので
a³+2a²-5a-6=m(a-2)
⇔a³+2a²-5a-6=f'(a)(a-2)・・・②
②は結局①の式のxをaに置き換えただけのものだから①がx=2を重解に持つなら
②はa=2を重解にもつという事ですね。^-^
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