次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。 という問題です。 解答の過程

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。
という問題です。
解答の過程を書いていただきたいです。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/18 12:00

分母の有理化→

分母分子に(n+1)√n-n√(n+1)を掛けると
1/{(n+1)√n+n√(n+1)}=1x{(n+1)√n-n√(n+1)}/{(n+1)√n+n√(n+1)}x{(n+1)√n-n√(n+1)}
＝{(n+1)√n-n√(n+1)}/{(ｎ²+2n+1)n-n²(n+1)}
={(n+1)√n-n√(n+1)}/(n²＋ｎ)
＝{(n+1)√n-n√(n+1)}/n(n+1)
=√n/n-√(n+1)/(n+1)
=1/√n-1/√(n+1)
であるから
Σ[K=1～n]1/{(k+1)√k+k√(k+1)}
={1/√1-1/√(1+1)}+{1/√2-1/√(2+1)}+{1/√3-1/√(3+1)}+・・・+{1/√n-1/√(n+1)}
　　　　　　↑・・相殺・↑　　↑・・相殺・↑　　　↑・・相殺・・・・↑
=1-1/√(n+1)　←←←第ｎ部分和
これをSnと置けば
与式=lim[n→∞]Sn=lim[n→∞]1-1/√(n+1)=1 (収束)