アの解き方を教えてください

アの解き方を教えてください

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2018/12/07 15:30

楕円C1:6x^2+4y^2=3

曲線C2:8x-8y^2=1
とする.
x>0の範囲において,
C1とC2で囲まれた部分の面積をS
とする
楕円C1のxのyに関する式は
c1x(y)=√[(1/2){1-(2y/√3)^2}]
曲線C2のxのyに関する式は
c2x(y)=y^2+(1/8)
となる
C1とC2の交点を(x,y)
とすると
6(y^2+1/8)^2+4y^2=3
6y^4+11y^2/2+3/32=3
(y^2+11/24)^2-25/36=0
(y^2+11/24+5/6)(y^2+11/24-5/6)=0
y^2+11/24-5/6=0
y^2=5/6-11/24=9/24=3/8
x=3/8+1/8=1/2
y=±√3/(2√2)
y=±(√6)/4
だから
S
=∫_{-(√6)/4～(√6)/4}{c1x(y)-c2x(y)}dy
=∫_{-(√6)/4～(√6)/4}(√[(1/2){1-(2y/√3)^2}]-y^2-1/8)dy
↓y={(√3)/2}sintとすると
↓dy={(√3)/2}(cost)dt
↓√[(1/2){1-(2y/√3)^2}]={(√2)/2}cost
↓-π/4≦t≦π/4だから
={(√6)/4}∫_{-π/4～π/4}{(cost)^2}dt+[-y^3/3-y/8]_{-(√6)/4～(√6)/4}
={(√6)/8}∫_{-π/4～π/4}{1+cos(2t)}dt-2{(√6)/4}^3/3-2(√6)/4/8
={(√6)/8}[t+sin(2t)/2]_{-π/4～π/4}-(√6)/16-(√6)/16
={(√6)/8}[π/2+1]-(√6)/8
=(π√6)/16