重積分

重積分について、問題を解いてください。

形状D物体の密度がρ(x,y,z)で与えられているとき、その物体の質量Mと重心(x_g,y_g,z_g)は

M=∮∮∮D ρ(x,y,z)dxdydz
(x_g,y_g,z_g)=(1/M)(∮∮∮D xρ( x,y,z)dxdydz,∮∮∮D yρ(x,y,z)dxdydz,∮∮∮D zρ(x,y,z)dxdydz)
で求めることができる。このことをふまえて、以下の問いに答えよ

1.半径Rの一様な密度を持つ半球の重心を求めよ。ただし、原点を中心とする球のうち、z≧0の部分のを考えること。

2.底面の半径R、高さhの一様な密度を持つ円錐の重心を求めよ。ただし、図のように円錐の頂点を原点にとると、図のようにz軸からの距離r=√(x^2+y^2)とzが、r=Rz/hの関係になることを利用すること。

途中式もお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info222_ 回答日時： 2014/06/24 09:23

No.2です。

つづいて
２

ρ(x,y,z)=ρ(定数)
対称性から重心G(0,0,z_g)
D={(x,y,z)|0≦(h/R)√(x^2+y^2)≦z≦R}
M=∫∫∫[D] ρdxdydz=ρ∫∫∫[D] dxdydz=(1/3)ρhπR^2
z_g=(1/M)∫∫∫[D] zρdxdydz
=(ρ/M)∫∫∫[D] zdxdydz
円柱座標x=rcosθ,y=rsinθ,z=zに変数変換して置換積分
対称性から
E={(r,θ,z)|0≦r≦zR/h≦R,0≦θ≦π/2,0≦z≦h}として
zdxdydz=z rdrdθdz

z_g=4(ρ/M)∫[0,π/2] dθ∫[0,h] zdz∫[0,zR/h] rdr
=2(ρπ/M)∫[0,h] (1/2)(Rz/h)^2 zdz
=(ρπ/M)(R/h)^2*[z^4/4][0,h]
=(ρπ/((1/3)ρhπR^2))(R/h)^2*(h^4/4)
=(3/4)h
(答) (0,0,3h/4)

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/06/24 07:02

「∮」は周回積分（閉路積分）や複素積分の閉路積分の特殊な積分のみに使用する積分記号です。

普通の積分（定積分）の本問では使ってはダメです。普通の積分記号「∫」を使ってください。

まず
１だけ
ρ(x,y,z)=ρ(定数)
D={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦R^2, z≧0}
M=∫∫∫[D] ρdxdydz=ρ∫∫∫[D] dxdydz=(2/3)πρR^3
立体の対称性から
重心G(x_g,y_g,z_g)=G(0,0,z_g)
z_g=(1/M)∫∫∫[D] zρdxdydz=(ρ/M)∫∫∫[D] zdxdydz
x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθとおいて置換積分する。
D　⇒ E={(r,θ,φ)|0≦r≦R, 0≦θ≦π/2, -π≦φ≦π}
ヤコビアン|J|=r^2*sinθ
zdxdydz=rcosθ|J|drｄθdφ=r^3 dr cosθsinθdθdφ
であるから
z_g=(3/(2πR^3))∫∫∫[E] r^3 dr cosθsinθdθdφ
=(3/(2πR^3))∫[0,R] r^3 dr ∫[0,π/2]　(1/2)sin(2θ)dθ∫[-π,π] dφ
=(3/(2πR^3))(R^4/4)*(1/2)([-(1/2)cos(2θ)][0,π/2]）* (2π)
=(3/8)R
(答) (x_g,y_g,z_g)=(0,0,3R/8)