円に内接する三角形について。

次の問題がわかりません。教えていただけると幸いです。
[円に内接する三角形の問題]
与えられた三角形に対して、頂点を通る円が唯一定まる。
問1、ABを直径とする円周上に、任意の点Cを決めて、長さAC〔cm〕とBC〔cm〕を求め、(AC)²＋(BC)²－(AB)²＝ｘを計算して求めよ。

問2、同じく、円周上にC以外の点Dを決めて、(AD)²＋(BD)²－(AB)²＝y を求めよ。

問3、この結果から、三角形ABCの形状(正三角形、二等辺三角形、直角三角形など)を定めよ。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/28 01:35

ABを直径とする円周上に、任意の点Cがあるとき、

三角形ABCは直角三角形になることをタレスの定理という。
１、タレスの定理の証明：OA=OC=円の半径だから、三角形OAC は二等辺三角形である。二つの○の角度は等しい。OB=OC=円の半径だから、三角形OBC は二等辺三角形である。二つの●の角度は等しい。図より∠A=○、∠B=●、∠C=○+●である。次に、三角形ABCの内角の和は180°だから
180°=∠A+∠B+∠C=○+●+○+●=2(○+●) =2∠C。ゆえに∠C=90°
問1、(AC)²＋(BC)²－(AB)²＝ｘを計算して求めよ。
　　ABCは直角三角形だからピタゴラスの定理(三平方の定理) により
(AC)²＋(BC)²= (AB)² だからｘ=(AC)²＋(BC)²－(AB)²=0。
問2、AD)²＋(BD)²－(AB)²=yを求めよ。
　問1と同じようにして、y=0。
問3、この結果から、三角形ABCは直角三角形である。
なお、点Cが弧ABの中点にある時は,二等辺三角形にもなる。

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/12/23 23:37

＞ABを直径とする円周上に、任意の点Cを決めて

この文章で、、任意の点Cを決めてor円周角の定理、が適用されて円周上の点Cが直径の両端である点AとBとで、直角を作ることが判る。
これは分かっていないといけない基礎の部分ですね。

タレスの定理は、直径に対する円周角は直角である　というもので、この場合ABが直径、円周上の点C(Dも)が直径と作る円周角∠ACB(∠ADBも)は直角ということになります。

円周角の定理は、円周上の任意の2点(A,Bとでもすると)が円の中心作る角は、そのAB円周上の他の1点Cが作る角の2倍となる。
円周角の定理で任意の2点が円の直径をつくる場合がタレスの定理になります。

三角形ABCで∠ACDが直角ですから、ABが斜辺になりって辺AC、BCと三平方の定理が成立することになります。
三平方の定理より
(AC)²＋(BC)²=(AB)²　
これを変形すると
(AC)²＋(BC)²-AB)²=0=x　となります。2は1と同じことで、3の直角三角形は最初に結論が出ている問題です。

幾何学の基礎の部分を使う簡単証明ですが、こういう証明は真面目にやろうとするとえらく面倒な証明になります

タレスの定理　や　円周角の定理　で検索すると違う表現の解説文が出ているので、色々な文章を読んで理解を深めるのも方法の一つです

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/12/23 15:11

ABを直径とする円周上に、任意の点Cを決めて　←　タレスの定理or円周角の定理により、∠ACB=90°

∴三平方の定理が成り立ち、(AC)²＋(BC)²=(AB)²　x＝0
2　1と同様
3　直角三角形

この回答へのお礼

もう少し詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。

お礼日時：2018/12/23 23:03