1+2+3+4+...=-1/12はどうやっても成り立つものなのでしょうか

ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...になるのは式の上で簡単に分かります。
ゼータ関数を解析接続で拡張したあとに-1を入れたら-1/12になるのはそうなんですねといった感じですが、ゼータ関数以外を使って1+2+3+...(のようなもの)を計算したときに-1/12以外にはならないのでしょうか。
ある定義域外の値を入れると式の上で「1+2+3+...」になるような、部分的に定義された正則な関数はゼータ関数以外にもありえそうな気がするのですが、その関数を解析接続で拡張し、その拡張された関数を使って1+2+3+...のようなものを求めても必ず-1/12になるのでしょうか。
また、自然数の総和以外にも、他の本来収束しない数列などに対して解析接続によって与えられる値はどうなのでしょうか。

関数f(z),g(z),発散する数列Anがあり、
ある値p,qがあってf(p)とg(q)が共にAnの極限と式の上で一致し、
しかしf,gをそれぞれ解析接続して得た関数F,GによるF(p)とG(q)は異なる、
といった場合はあり得るのでしょうか。

式の上で一致、という言葉がかなり曖昧ですが初学者の興味ということで…

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/06 14:55

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 だと言いたがる人は

ある程度以上に数学が解る人の中にも多く、
困ったものだと感じています。
素人を困惑させることが、そんなに楽しいのでしょうか。
数学の楽しみは、ものごとをちゃんと考えることにあるので、
あえて話をわかりにくくして「これがロマンだ」みたいな
ことを言われても、なんだかなあな印象です。
そういうアプローチじゃないことが数学のロマンなんだと、
数学者でない私は考えています。

ゼータ関数 ζ(s) が Re(s) > 1 で ζ(s) = Σ1/n^s と表されることと、
ζ(-1) = -1/12 であることは事実ですが、
ζ(s) が Σ1/n^s で表されるのは Re(s) > 1 の範囲でだけです。
関数の級数表示は収束域が制限される場合があるからこそ、
解析接続に意味があるのです。
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 という式は、ζ(-1) = -1/12 を意味しません。
その式は、左辺が発散しているだけの、成立しない等式です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/03/06 15:20

>>ゼータ関数Σ1/n^sのsに-1を入れた式が1+2+3+...

定義域sは複素数全体なんだけど、実部Re(s)>1が前提条件で有って、Re(s)＜１では意味をなさなくなる訳で、ζ(-1)はRe(s)＜１だから、議論する価値はないですよ。

No.3 回答者： ibm_111 回答日時： 2019/03/06 15:49

ゼータ関数の解析接続は一意的であることが証明されています．

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/07 10:14

後半の話題ですが、

f(p)とg(q)が共に発散数列Anの極限と式の上で一致
ということは、pはfの定義域内になく、
qはgの定義域内にないということです。
それだけの情報からは、F(p)とG(q)の関係が
どうなっているかは知りようがありません。

f(z)とg(z)の定義域の共通部分の中で
f(z)=g(z)となるzが集積点を持てば、全てのzについて
F(z)=G(z)になるというのが、「一致の定理」です。

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/03/09 10:58

ありえません。

左辺は+∞に発散する無限級数ですからその和が負の有限値に収束する訳がありません。
これは解析学を学び始めた人にその誤りに気付きにくいように巧みに論理誘導しているミスディレクションです。
米国のストバチームにトリックで挑んで勝利した黒子テツヤの様なものです。
これを解説しているサイトもありますから興味があったら検索してみてください。

高校生を惑わすような論理誘導の例は他にもあります。

数学的帰納法は、
i> 最初は正しい。
ii> ある時点で正しいとき、その次も正しい。
この2つが証明されると常に正しいという理屈です。
そこで...
i>スキンヘッドの人はハゲである。
ii>ハゲの髪の毛が1本増えたとしてもハゲであることに変わりはない。
よって全ての人はハゲである。

これは、明らかに間違った理論ですが、それを数学的に論破することが難しいのでよく取り上げられます。多くの答えは「ハゲは感性の問題なので、数学的に定義すること自体が誤りである。」としています。

実は、この問題について数学的な誤りを指摘することは可能です。ハゲの定義を「単位面積当たりの本数が一定数を下回る領域が存在する頭皮」とすれば、その境界点に於いて ii が成立しなくなるのです。

しかし、学問というのはその屁理屈を正しいとする新たなルールを勝手に作ってしまうことで発達することもあります。
例えば、
z=log(-1)
となる z を求めよという方程式。対数の真数は正なので右辺の式は定義域外である。よって解なし。
となるのが普通ですが、値域を複素数に拡張するとこの値が求められるようになり、しかも関数の禁じ手である多価関数という新たなルールも登場するのです。